1 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为2，记C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程，并说明E为何种曲线；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，且，求证：直线BD经过定点.

2 . 如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，，，，．
   
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．

3 . 正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．

(1)求三棱柱的全面积；
(2)求证：∥平面；
(3)求证：平面⊥平面．

4 . 已知双曲线C：经过点，其离心率为，A，B分别为C的左，右顶点．若P为直线上的动点，PA与C的另一交点为M，PB与C的另一交点为N．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．

5 . 已知数列的前项和为，且.
(1)证明数列为等差数列，并求出的通项公式；
(2)设数列，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所以满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知函数，其中.
(1)若，求解方程；
(2)求当时，函数的零点；
(3)求证：当时，函数至多只有一个零点.

7 . 已知点，曲线上任意一点均满足.
(1)求的轨迹方程；
(2)过点的直线与交于两点，证明：．

8 . 在中，角所对的边分别为，且．
(1)求证：；
(2)若，求．

9 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)记表示u，v中的最小值，当时，.证明：.

10 . 如图，在三棱柱中，平面，，点为中点.

   

(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离.