1 . 已知为坐标原点，为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上的两个动点，点在第一象限，点在第四象限，直线分别过点且与曲线相切，为的交点，为直线与直线的交点，求面积的最小值．

2 . 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群数量近似呈指数增长；而当种群数量达到某个值后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，逻辑斯谛模型（，，均为正数）可以用来刻画这种现象，其中是初始时刻种群数量，是种群的内秉增长率，是环境容纳量，表示时刻的种群数量.下列说法正确的是（       ）

A．若，则存在，；

B．若，则存在，；

C．若，则对任意，的导函数恒大于；

D．若，则的导函数在有最大值．

3 . 已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.

4 . 已知抛物线为的焦点，在上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与交于两点（分别位于直线的两侧），且直线的斜率之和为0，
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求的面积的最大值．

5 . 已知函数．
(1)证明：有唯一的极值点；
(2)若，求的取值范围．

6 . 已知函数．
(1)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，且存在实数，使得．证明：在上存在唯一零点，且．

7 . 已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则下列结论正确的为（       ）

A．当时，不是正四面体

B．的底面棱长的最大值为

C．的体积随着的增大而增大

D．的体积的最大值为

8 . 已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．

9 . 已知函数
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围．

10 . 已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，判断当时函数的单调性；
(2)当时，在恒成立，求的最大值.