1 . 已知函数，.
(1)判断并证明在上的单调性；
(2)当时，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.

2 . 已知函数（且）.
(1)求函数的奇偶性；
(2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.

3 . 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有3个零点，请直接写出的取值范围，并求的值.

4 . 设，函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个零点，求证：.

5 . 若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”.
(1)若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”并说明理由；
(2)若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，若恰好存在个不同的实数，，…，，使得（其中），则称函数为“级阶局部奇函数”，若函数是定义在R上的“4级1阶局部奇函数”，求实数的取值范围

6 . 已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值.

7 . 已知函数.
(1)求函数在上的零点个数；
(2)当时，求证：.
（参考数据：）

8 . 对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数.
(1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明；
(2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由；
(3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式.

9 . 已知函数.
(1)当时，求的定义域；
(2)当时，有两解，求实数的范围.

10 . 已知函数为偶函数，其中是自然对数的底数，.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)函数，在区间上的图象与轴有交点，求的取值范围.