1 . 设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的极大值和极小值；
(3)当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

2 . 已知平面曲线满足：它上面任意一定到的距离比到直线的距离小1.
(1)求曲线的方程；
(2)为直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；
(3)在（2）的条件下，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.

3 . 已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：．

5 . 已知函数，为的导数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：在区间存在唯一零点；
(3)若时，，求a的取值范围．

6 . 设函数.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)证明:对每个，存在唯一的，满足；
(3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足.

8 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；
(3)求证：．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；
(2)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程；
(3)若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．