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解题方法
1 . 如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率是
，曲线
是抛物线
在椭圆
内的一部分，抛物线的焦点
在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设
是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线
与交于不同的两点
，
，线段
的中点为
，直线
与过且垂直于
轴的直线交于点
．求证：点在定直线上，并求出直线的方程；
(3)若满足（2）的直线与
轴交于点
，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值及取得最大值时点的坐标．
中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．(1)求椭圆
的方程；(2)设
是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程；(3)若满足（2）的直线
与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．
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解题方法
2 . 已知
（
，
，，
为常数）和点
，直线
为函数
在
处的切线方程．
(1)若
，
，求函数的极值；
(2)若
，
，
，试证明：当
时，过点可以作3条不同的直线与相切；
(3)上是否存在两个不同的点，在这两个点处的切线相同？请说明理由．
（，，，为常数）和点，直线为函数在处的切线方程．(1)若
，，求函数的极值；(2)若
，，，试证明：当时，过点可以作3条不同的直线与相切；(3)
上是否存在两个不同的点，在这两个点处的切线相同？请说明理由．
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3 . 已知函数
．
(1)当时，求函数
过点
的切线方程；
(2)若
，求证：函数只有一个零点
，且
；
(3)当
时，记函数的零点为，若对任意
且
，都有
，求实数
的最大值．
．(1)当
时，求函数过点的切线方程；(2)若
，求证：函数只有一个零点，且；(3)当
时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值．
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4 . 给定函数
，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为.
(1)若
，判断集合是否为空集，并说明理由；
(2)若
，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；
(3)若
，记图像上的所有点组成的集合为
，且
，求实数的取值范围.
，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为.(1)若
，判断集合是否为空集，并说明理由；(2)若
，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；(3)若
，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围.
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2023-06-25更新
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417次组卷
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7卷引用：上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题
上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题上海市南模中学2024届高三上学期期中数学试题（已下线）期末测试卷01（测试范围：第1-8章）-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）（已下线）专题09 导数及其应用 压轴题（六大题型）-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）（已下线）上海市高二下学期期末真题必刷04（压轴题）--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）（已下线）模块一 专题4 《导数的概念、运算及其几何意义》B提升卷（高二人教B版）（已下线）模块一 专题5 《导数的概念、运算及其几何意义》B提升卷（高二北师大版）
2023·上海浦东新·模拟预测
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5 . 设函数
.
(1)求函数
在点
处的切线方程;
(2)证明:对每个
，存在唯一的
，满足
；
(3)证明:对于任意
，由（2）中
构成的数列
满足
.
.(1)求函数
在点处的切线方程;(2)证明:对每个
，存在唯一的，满足；(3)证明:对于任意
，由（2）中构成的数列满足.
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6 . 令
，取点
过其曲线
作切线交y轴于
，取点
过其作切线交y轴于
，若
则停止，以此类推，得到数列
．
(1)若正整数
，证明
；
(2)若正整数，试比较
与
大小；
(3)若正整数
，是否存在k使得
依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．(1)若正整数
，证明；(2)若正整数
，试比较与大小；(3)若正整数
，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
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解题方法
7 . 定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．
(1)设
．若曲线
与曲线
在点P处相切，求m的值；
(2)设
，若圆M：
与曲线
在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；
(3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为
，且满足
和
都恒成立.是否存在点P，使得曲线
和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．
(1)设
．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；(2)设
，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；(3)若函数
是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．
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2023-05-28更新
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554次组卷
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4卷引用：上海市奉贤中学2023届高三三模数学试题
上海市奉贤中学2023届高三三模数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题上海市上海中学东校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷（已下线）上海市高二下学期期末真题必刷04（压轴题）--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）
2023高二·上海·专题练习
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8 . 已知函数
为常数，
是自然对数的底数），曲线在点
处的切线与轴平行.
(1)求
的值；
(2)求的单调区间；
(3)设
，其中
为的导函数.证明：对任意
，
.
为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.(1)求
的值；(2)求
的单调区间；(3)设
，其中为的导函数.证明：对任意，.
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9 . 已知函数
．
(1)若函数在
时取得极值，求的值；
(2)在第一问的条件下，求证：函数有最小值；
(3)当
时，过点
与曲线相切的直线有几条，并说明理由
注：不用求出具体的切线方程，只需说明切线条数的理由
．(1)若函数
在时取得极值，求的值；(2)在第一问的条件下，求证：函数
有最小值；(3)当
时，过点与曲线相切的直线有几条，并说明理由注：不用求出具体的切线方程，只需说明切线条数的理由
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2023-06-27更新
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264次组卷
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4卷引用：上海市曹杨中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题
上海市曹杨中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）上海市高二下学期期末真题必刷03（常考题）--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期6月第二次阶段性检测数学试卷江西省龙南中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题
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10 . 已知函数
．
(1)若
，求函数的图像在
处的切线方程；
(2)若，求函数的单调区间；
(3)若
，已知函数有两个相异零点
，求证：
．
．(1)若
，求函数的图像在处的切线方程；(2)若
，求函数的单调区间；(3)若
，已知函数有两个相异零点，求证：．
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