名校
解题方法
1 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂, 并只受重力的影响,这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年,莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程
,其中
为参数.当
时,就是双曲余弦函数
,类似地双曲正弦函数
,它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质:
①倍角公式
;
②平方关系
;
③求导公式![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fad7736e047d89385512f5715c4434a4.png)
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明;
(2)当
时,双曲正弦函数
图象总在直线
的上方,求实数
的取值范围;
(3)若
,证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f07f8015f0a035e80a166092be0b7318.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/071a7e733d466949ac935b4b8ee8d183.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4580cc037c0c760c728cdbb74a8154c6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ddb06bbda9da4a045750637f4215593.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6ee7a18d65bcc8b5a94292365009462e.png)
(1)类比三角函数的三个性质:
①倍角公式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/190a6011b263200d13f62e636398e26d.png)
②平方关系
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9da8f21743a3a14ce326eaeecb86a417.png)
③求导公式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fad7736e047d89385512f5715c4434a4.png)
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明;
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08115d6d9f876dea921a4d32260ff1fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b9213864ba0aa83b0f11be6ad6ed6bc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac02a054bd0771a56987af33454baaea.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db1c01b5cfd9630ca3e7d8f48ada6ef7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a2a602db560a460408aae63f5cde96d6.png)
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2024-06-10更新
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377次组卷
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2卷引用:浙江省杭州市西湖高级中学2024届高三下学期数学模拟预测数学试题
名校
2 . 已知函数
.
(1)当
时,证明:
;
(2)当
时,
,求
的最大值;
(3)若
在区间
存在零点,求
的取值范围.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3fb69579884d02df940d0ee1577b5e1a.png)
(1)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fd876a2ed79c64bacc3e64b8ee92735e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf9e6bfd0a580544713a59ed282bfe4a.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e541ea2f855f981c96207070683d388.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/213f600bc788894ff91df0356abb84f3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d562dc22dfb3b81d0c3f88b54d063c2f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
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名校
解题方法
3 . 已知
是方程
的两根,数列
满足
,
,
.
满足
,其中
. 则( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d98919b1335a8b7ca020636d1494ad0d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/073c95775e8c6c15c7f2f8a4a2ad050b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/039e4fe671d61e59b96ee525c9df43e8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/19a31ae70f96dc4aef6e1ca3ef9fed38.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf6746bfcdf694447215a11f5b677d40.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/034ba25825c13725931c483aa47c9363.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/140b5428dace7d41a3967db2f60d633e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c071ed6bc646439b162e096e64fbcd50.png)
A.![]() |
B.![]() |
C.存在实数![]() ![]() ![]() |
D.不存在实数![]() ![]() ![]() |
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2024-05-08更新
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952次组卷
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2卷引用:浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题
名校
4 . 已知函数
,则( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/935cb000d4fc7e667f78457718c3f630.png)
A.![]() ![]() |
B.![]() ![]() |
C.当![]() ![]() ![]() |
D.当![]() ![]() ![]() ![]() |
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2024-04-15更新
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940次组卷
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2卷引用:浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学试题
名校
解题方法
5 . 给出下列两个定义:
I.对于函数
,定义域为
,且其在
上是可导的,若其导函数定义域也为
,则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”
,若有以下性质:
①
;②
,其中
为两个新的函数,
是
的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数
称之为“单向导函数”,将两个性质都具有的函数
称之为“双向导函数”,将
称之为“自导函数”.
(1)判断函数
和
是“单向导函数”,或者“双向导函数”,说明理由.如果具有性质①,则写出其对应的“自导函数”;
(2)已知命题
是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数,命题
.判断命题
是
的什么条件,证明你的结论;
(3)已知函数
.
①若
的“自导函数”是
,试求
的取值范围;
②若
,且定义
,若对任意
,不等式
恒成立,求
的取值范围.
I.对于函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8455657dde27aabe6adb7b188e031c11.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8455657dde27aabe6adb7b188e031c11.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8455657dde27aabe6adb7b188e031c11.png)
II.对于一个“同定义函数”
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
①
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36f0c9c530e0d6ff60e441a51a4686ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5070fe4ea6d482907b00fe41187c37c2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/386296c2bf14553780af7bb0f6b3b859.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20d0c99ddd028f0bc3b1d64924ff0f61.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
我们将具有其中一个性质的函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1938c093dd2fbcb752d0eb7a18d143b2.png)
(1)判断函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a869a76555f3369728f9005863bdb8eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5db192285632d1991b4ee7a003a52205.png)
(2)已知命题
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2dacb5c2e77af8b5206bd73371a3fa93.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5f9175637dafb22385a841e3a421c3c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9aa8a716a31b0f51b70fdf9bdb257909.png)
(3)已知函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f054bdfd8bcf3a4ac389128a1ab05f6b.png)
①若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d77f5191798242b7b9b88a75e17e4425.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
②若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48adb8a59b5c02fad5eada1b35171cf3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23f3a5142d684c296c4680d031a6f5d4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/110709a27ddb9f2306e1afe092da47cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/faf85851803392c45a5ce94fd63e25dc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/071a7e733d466949ac935b4b8ee8d183.png)
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2024-02-20更新
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2510次组卷
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10卷引用:浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题
浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题上海市普陀区桃浦中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题上海市普陀区桃浦中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考试卷数学(六)(已下线)压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编2024届高三新改革适应性模拟测试数学试卷四(九省联考题型)辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高三下学期第六次模拟考试数学试卷(已下线)上海市奉贤区2024届高三一模数学试题变式题16-21湖北省武昌实验中学2023-2024学年高二下学期三月月考数学试卷
名校
解题方法
6 . 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系,悬链线可为双曲余弦函数
的图象,类比三角函数的三种性质:①平方关系:①
,②和角公式:
,③导数:
定义双曲正弦函数
.
(1)直接写出
,
具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明);
(2)若当
时,
恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求
的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/31bb273b5a350968453b96f948fcded4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9af7ca3fcd9a43d520ed650b80ef2dad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/089d529ef22e4f75f91a4657dedcaf37.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc4d4c6c322c65c32e15cf2ad012560a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c2cb91e9953f005f9d72f892466b8fd2.png)
(1)直接写出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6b8f5a1a76374ad5712b4ecafb64b96.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0379c458448d37a46ae0d25e65ab6258.png)
(2)若当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08115d6d9f876dea921a4d32260ff1fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9957a339be7094158adb4b156a31d40.png)
(3)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e1e3e51b8ae3bebb72439b409ee6b96.png)
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2024-01-27更新
|
2032次组卷
|
7卷引用:浙江省湖州市第一中学2024届高三下学期新高考数学模拟试题
浙江省湖州市第一中学2024届高三下学期新高考数学模拟试题云南省昆明市第一中学2024届高三上学期第六次考前基础强化数学试题2024届高三新改革适应性模拟测试数学试卷一(九省联考题型)(已下线)压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期第一次调研考试数学试题2024届山西省平遥县第二中学校高三冲刺调研押题卷数学(二)
名校
解题方法
7 . 设函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
,求a,b的值;
(2)若当
时,恒有
,求实数a的取值范围;
(3)设
时,求证:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6bfb335ea5c026396f0efecedded3e46.png)
(1)若曲线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9c9f8845aa2b51c460f2d798c9f62fa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/987d5df2a3c0abe19a2ee4bcf1b92809.png)
(2)若当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08115d6d9f876dea921a4d32260ff1fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/619f547f7b409d9acc919e8a91be779b.png)
(3)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a37a59558292ad6b3d0978bfd7484990.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d31ec665c10daac9063a1145a4c11368.png)
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2024-01-25更新
|
1500次组卷
|
6卷引用:浙江省温州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(A)
名校
8 . 对任意
,函数
恒成立,则a的取值范围为___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5a3368388525e30cb7179909b03184eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e26b182e06d58df75bf7abd0ce2eaaa.png)
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2024-01-25更新
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1794次组卷
|
8卷引用:浙江省宁波市宁波九校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题
浙江省宁波市宁波九校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题(已下线)专题5 指数对数同构问题(过关集训)(压轴题大全)(已下线)模块2专题5 函数同构 化繁为简练(已下线)压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总 -1(已下线)专题01 一元函数的导数及其应用-4山东省淄博实验中学2023-2024学年高二下学期第二次诊断考试(6月月考)数学试题
9 . 已知函数
在定义域内有两个不同的零点
,.
(1)求证:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94e691e5d64f7bad4e1c8b88a7bd06d8.png)
(2)已知
,若存在
,不等式
对任意的
总成立,求
的取值范围.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b8455b635d88ac4725388276171e401.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aca579894dad67bc82cb715fd48e0d70.png)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94e691e5d64f7bad4e1c8b88a7bd06d8.png)
(2)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2f0d68648b10fce54dfc19c5ee60086d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a09145206ea1060dbba927a9d12569.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a994d7c2cc2284c69d1a90fe78814056.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ce7ae90d808f05e86ea063238e4b2f9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
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解题方法
10 . 已知函数
,
,
为自然对数底数.
(1)证明:当
时,
;
(2)若不等式
对任意的
恒成立,求整数
的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d79bc0dd2bf343af8938d4ce15f5134a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/55d2caa7446da913b76747bab136fcc8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11204e2fb6e560bf7a4ca26eaebfc526.png)
(1)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0fde64f4d3c38e43fbdee24eadc4b0dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c9b59d1e47d607ffbc41153a74f3f08.png)
(2)若不等式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f4acda6b6464db27e1ec18a1522406d2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66692ec49a458f9e48c7315d03dfc37b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
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