1 . 法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．

   

(1)求；
(2)若的面积为，求的面积的最大值．

2 . 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值;
(2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量;
(3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由.

3 . 在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，证明：为直角三角形.

4 . 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．

5 . 已知向量，，函数的部分图象如图所示：

(1)求的最小正周期和单调区间；
(2)函数在有两个不同的零点，求m的取值范围．

6 . 已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)若，，求b；
(2)求证：．

7 . 的内角的对边分别为，，，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.

8 . （1）求证：；
（2）求值：.

9 . 设函数由下列三个条件中的两个来确定：①；②最小正周期为；③．
(1)写出能确定函数的两个条件，并求出的解析式；
(2)求函数在区间上的最小值及相应的的值．

10 . 三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.
(1)证明：；
(2)若，，求的值.