1 . 在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求角A的大小；
(2)若是角平分线，求证：.

2 . 在中，角为锐角，且，其中．
(1)证明：；
(2)求实数的取值范围．

3 . 如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，.

(1)求的长；
(2)设，写出与的函数关系式；
(3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？

4 . 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．
   
(1)在某次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．
(2)在杆上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角．证明：．

5 . 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.

6 . 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．

7 . 已知的内角的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，证明：是直角三角形.

8 . 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.

9 . 在锐角中，内角的对边分别为，且满足.
(1)证明：.
(2)求的取值范围.