名校
解题方法
1 . 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形,如图1,在一个棱长为2r的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱,其相交的部分就是牟合方盖(如图2),我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究,推导出了球体体积公式.设平行于水平面且与水平面距离为
的平面为
,则平面
截牟合方盖所得截面的形状为______ (填“正方形”或“圆形”),设半径为r的球体体积为
,图2所示牟合方盖体积为
,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/625dbbd5d5f2617b7c53acdb936b1d07.png)
______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/82d38e62ba27b42d838c51a6e0a88e40.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
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名校
解题方法
2 . 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异.”“势”即是几何体的高,“幂”是截面积,意思是:如果两等高的几何体在同高处的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线
的焦点在
轴上,离心率为
,且过点
,则双曲线的渐近线方程为______ .若直线
与
在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形,则该图形绕
轴旋转一周所得几何体的体积为______ .
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b2bbf68714436abcc9a8fdc01bd04895.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
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名校
解题方法
3 . 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为.若圆柱的体积为
,则该球的内接正方体的体积为
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2024-02-17更新
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232次组卷
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3卷引用:北京市海淀区北京交大附中2024届高三下学期3月开学诊断练习数学试题
14-15高一上·河南郑州·期末
名校
4 . 棱长为2的正方体外接球的表面积是________ .
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2024-01-15更新
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534次组卷
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27卷引用:北京朝阳工大附2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题
北京朝阳工大附2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题北京市海淀区教师进修学校2021-2022学年高一6月份数学月考试题(已下线)2013-2014学年河南省郑州市高一上学期期末考试数学试卷2015-2016学年湖南长郡中学高二水平模拟文科数学卷2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二下学业水平模拟数学试卷2017届陕西汉中城固县高三10月调研数学(文)试卷2017届山东荣成市六中高三10月月考数学(文)试卷贵州省毕节梁才学校2017-2018学年高二上学期第一次月考(文)数学试题安徽省亳州市涡阳县第九中学2019-2020学年高二下学期期末数学(理)试题安徽省亳州市涡阳县第九中学2019-2020学年高二下学期期末数学(文)试题陕西省西安市新城区2020-2021学年高一上学期期末数学试题福建省莆田锦江中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题上海市格致中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题湖北省鄂东南三校联考2021-2022学年高一下学期阶段考试(二)数学试题河南省名校联盟2021-2022学年高一下学期4月质量检测数学试题(已下线)第08讲 拓展一:空间几何体内接球与外接球问题 (讲)贵州省遵义市绥阳县2022-2023学年高二上学期第一次联考数学试题(已下线)易错31题专练(沪教版2020必修三全部内容)-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略(沪教版2020必修三)(已下线)第12讲 球体的体积和表面积(核心考点讲与练)-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略(沪教版2020必修第三册)(已下线)上海高二上学期期中【易错、好题、压轴60题考点专练】(1)上海市上南中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题(已下线)第11章 简单几何体(易错必刷30题6种题型专项训练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)(已下线)期中真题必刷易错40题(17个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)(已下线)期末真题必刷易错60题(32个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)(已下线)第03讲 简单几何体的表面积和体积-《知识解读·题型专练》(已下线)专题突破:简单几何体的外接球问题-同步题型分类归纳讲与练(人教A版2019必修第二册)
5 . 如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与原长方体体积的比为______________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/10/18/77ca4bfd-c656-481e-85e3-9d91980166df.png?resizew=123)
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名校
解题方法
6 . 如图,将正四面体每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,余下的多面体就成为一个半正多面体,亦称“阿基米德体”.点A,B,M是该多面体的三个顶点,点N是该多面体表面上的动点,且总满足
,若
,则该多面体的表面积为__________ ,点N轨迹的长度为__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f479d987bc7abd828c64f9dc745836ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d2c15801fee2405573677484f5dcfa4.png)
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2023-10-08更新
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693次组卷
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17卷引用:北京市海淀区人大附中2024届高三下学期寒假自主复习检测数学试题
北京市海淀区人大附中2024届高三下学期寒假自主复习检测数学试题山东省临沂市2021届高三二模考试数学试题山东省聊城第一中学2021届高三高考冲刺预测数学打靶卷试题(三)全国2021届高三高考数学考前冲刺试题(一)江苏省南通市2020-2021学年高一下学期5月期末模拟测试数学试题安徽省合肥市第一中学2022届高三下学期最后一卷理科数学试题湖南省四大名校名师团队2022届高三下学期高考猜题卷(A)数学试题山东省青州市2022届高三下学期打靶题数学试题(已下线)第07练 九种外接球与内切球模型-2022年【暑假分层作业】高一数学(苏教版2019必修第二册)上海交通大学附属中学2023届高三上学期10月月考数学试题江苏省常州市戚墅堰高级中学2023届高三下学期3月一模模拟数学试题(已下线)微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题福建省福州市闽侯县第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题辽宁省抚顺德才高级中学2023届高三硬核提分(五)数学试题江苏省苏州市黄埭中学 2024届高三上学期12月阶段性练习数学试题(已下线)第三章 空间轨迹问题 专题三 立体几何轨迹长度问题 微点2 立体几何轨迹长度问题综合训练【培优版】(已下线)数学(广东专用01,新题型结构)
7 . “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点).若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为
的正四棱柱构成,如图所示,则该“十字贯穿体”的体积为_______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8af2fdf1944afebb51cb6a5e6c74aadd.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/9/7/b4d3e9cc-277f-44b0-be1b-9a060a6bea2d.png?resizew=156)
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2023-09-04更新
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722次组卷
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5卷引用:北京市清华大学附属中学2024届高三上学期开学考试数学试题
北京市清华大学附属中学2024届高三上学期开学考试数学试题北京市清华附中2024届高三开学摸底考数学试题湖北省武汉市江岸区2024届高三上学期1月调考数学试题(已下线)第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【帮课堂】(人教A版2019必修第二册)13.3 空间图形的表面积和体积(1)-【帮课堂】(苏教版2019必修第二册)
名校
8 . 已知一个长方体的
个顶点都在一个球面上,且长方体的棱长为
,
,
,则长方体的体对角线的长等于___________ ;球的表面积等于___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cd3304e23f3b0f9569c4140ca89b6498.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a7ffe8515ff6183c1c7775dc6f94bdb8.png)
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2023-07-10更新
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363次组卷
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3卷引用:北京市房山区2022-2023学年高一下学期期末数学检测试题
解题方法
9 . 如图1,四棱锥
是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器(容器材料厚度不计),底面
为平行四边形,现将容器以棱
为轴向左侧倾斜到图2的位置,这时水面恰好经过
,其中
、
分别为棱
、
的中点,在倾斜过程中,给出以下四个结论:
②有水的部分始终呈棱柱形;
③棱
始终与水面所在平面平行;
④水的体积与四棱锥
体积之比为
.
其中所有正确结论的序号为________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0585b6c0f156eecf9662b9846d4eb693.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b32c05247f6998d7a70d31d13be4148c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd33764ff4efddfe11a98a609753715c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d2be49c37e30a3ced0364c3e74d8c687.png)
②有水的部分始终呈棱柱形;
③棱
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
④水的体积与四棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0585b6c0f156eecf9662b9846d4eb693.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7d41a8f74c12963f45e6ed35ca0cd7e5.png)
其中所有正确结论的序号为
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2023-07-10更新
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641次组卷
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6卷引用:北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题【北京专用】专题13立体几何与空间向量(第二部分)-高一下学期名校期末好题汇编(已下线)模块二 专题4 立体几何中的平行与垂直的位置关系 能力卷B(已下线)模块二 专题4 立体几何中的平行与垂直的位置关系 基础卷A(已下线)模块二 专题7 立体几何中的平行与垂直的位置关系 基础卷A(已下线)模块二 专题7 立体几何中的平行与垂直的位置关系 能力卷B
14-15高二上·北京西城·期末
名校
10 . 已知一个正方体的
个顶点都在一个球面上,则球的表面积与这个正方体的全面积之比为_____________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cd3304e23f3b0f9569c4140ca89b6498.png)
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2023-07-09更新
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321次组卷
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6卷引用:2013-2014学年北京市西城区高二第一学期期末理科数学试卷
(已下线)2013-2014学年北京市西城区高二第一学期期末理科数学试卷北京市海淀教师进修学校2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题(已下线)北京市第四中学(房山分校)2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题北京市石景山区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题【北京专用】专题13立体几何与空间向量(第二部分)-高一下学期名校期末好题汇编四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期第2次月考数学(创新班)试题