1 . 在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.
(1)求，的方程：
(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.

2 . 已知点是圆的动点，过作轴，为垂足，且，，记动点，的轨迹分别为，．
(1)证明：，有相同的离心率；
(2)若直线与曲线交于，，与曲线交于，，与圆交于，，当时，试比较与的大小．

3 . 已知椭圆：的左焦点为，为曲线：上的动点，且点不在轴上，直线交于，两点.
(1)证明：曲线为椭圆，并求其离心率；
(2)证明：为线段的中点；
(3)设过点，且与垂直的直线与的另一个交点分别为，，求面积的取值范围.

4 . 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．

(1)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
(2)过的直线与相交于点三点，求证：．

5 . 在中，已知，记且对，均有，其中且.
(1)求点A_n的轨迹方程；
(2)求数列的通项公式；
(3)记的面积为，判断的单调性并给出证明.

6 . 已知曲线：经过点，．
(1)求曲线的方程；
(2)已知定点，过的直线与曲线交于A，B两点，过的直线与曲线交于C，D两点．若A，C，M三点共线，证明：B，D，M三点共线．

7 . 椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当为椭圆，当为抛物线，当为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．
已知点，直线动点满足到点F的距离与到定直线l的距离之比为

(1)求曲线的轨迹方程；
(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线中，O为抛物线顶点，过焦点F的直线交抛物线与A，B两点，连接，并延长交准线l与D，C，则以为直径的圆与相切于点F，以为直径的圆与相切于中点．那么如图在曲线E中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．

8 . 如图，椭圆：的右焦点为，椭圆：，椭圆的切线、交椭圆于、、三点，切点分别为、.

(1)求实数的值；
(2)求证：点是线段的中点；
(3)求四边形面积的最大值．

9 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上．

(1)求△面积的最大值；
(2)设过点P的椭圆的切线方程为，试用k，m表示点P的坐标；
(3)设点P坐标为，求证：一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点．

10 . 已知椭圆的焦距为2，O为坐标原点，F为右焦点，点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l的方程为，AB是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M为弦的中点，直线MO交l于点P，过点O与AB平行的直线交/于点Q，直线PF交直线OQ于点R，直线QF交直线MO于点S．
①证明：O，S，F，R四点共圆；
②记△QRF的面积为，△QSO的面积为，求的取值范围．