1 . 小明在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了深入的思考与总结．阅读小明的笔记，并完成相应任务．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在
中，
，
是斜边
上的中线．
求证：
．等于的一半，可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到点
，使得
，连接
，只需通过证明三角形全等即可证明
．
证明：延长到点，使得，连接，如图2所示．
……
【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明；
【问题再探】如图3，在中，
于点
，是边
的中线，
垂直平分，若
，则
的度数为________；
【拓展提升】如图4，，是的两条高，
，
分别是
，
的中点，若
，
，试求线段
的长．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在
中，，是斜边上的中线．求证：
．
等于的一半，可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到点，使得，连接，只需通过证明三角形全等即可证明．证明：延长
到点，使得，连接，如图2所示．……
【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明；
【问题再探】如图3，在
中，于点，是边的中线，垂直平分，若，则的度数为________；【拓展提升】如图4，
，是的两条高，，分别是，的中点，若，，试求线段的长．
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2 . 中国最早的箭头，出自山西朔县峙峪旧石器遗址．它是一枚由燧石打造成的石制箭头，距今已28000年之久，如图1所示．历史爱好小组的同学发现，箭头的双翼箭镞可以利用实践课的剩余材料制作出模型，如图2，将全等的
与
粘合，过点B作
交
于点E，连接，沿
，剪开，即可作出箭镞的形状．请你判断制作过程中剪下的四边形
的形状，并说明理由．
与粘合，过点B作交于点E，连接，沿，剪开，即可作出箭镞的形状．请你判断制作过程中剪下的四边形的形状，并说明理由．
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3 . 如图，在
中，
，
，
的平分线交于点，交
的延长线于点，
，垂足为
．
，则
_______ ．
中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．，则
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4 . 如图，是
的直径，
为延长线上一点，
切于点
，平分
，与的延长线交于点，
，
，则
的长为（ ）
是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为（ ）
| A．2.5 | B．2.4 | C．3 | D．1.5 |
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5 . 阅读与理解
请根据上面的材料，完成下列任务：
(1)第一步操作得到的折痕b与直线a的位置关系是 ．
(2)关于新折痕c与直线a平行的依据，下列说法错误的是 （填序号即可）．
A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
(3)如图5，
于点G，
于点H，M，N是直线上两点（点N位于点M左侧），连接
，
，其中
，
，求
的度数．
| 学习了平行线之后，小林同学通过折纸的方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点P为纸片上直线a外一点．
第一步：如图2，沿过点P的直线翻折，使直线a在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕b；
|
(1)第一步操作得到的折痕b与直线a的位置关系是 ．
(2)关于新折痕c与直线a平行的依据，下列说法错误的是 （填序号即可）．
A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
(3)如图5，
于点G，于点H，M，N是直线上两点（点N位于点M左侧），连接，，其中，，求的度数．
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6 . 如图1是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景；图2是小强锻炼时上半身由
位置运动到与地面
垂直的
位置时的示意图，已知
米，
，则M、N两点的距离是______ 米．
位置运动到与地面垂直的位置时的示意图，已知米，，则M、N两点的距离是
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2024-05-17更新
|
69次组卷
|
2卷引用：山西省晋中市介休市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
7 . 如图，内接于，
是的直径，过点作的切线，交的延长线于点，若
，则
的度数为（ ）
内接于，是的直径，过点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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8 . 综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使
，将点E绕点C逆时针旋转
得到点
，射线，
交于点F．
特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形
的形状为正方形．
探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明；
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接
，
，
，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知
，
，直接写出
的长度．
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使
，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F．特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线
中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形．探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要
，四边形的形状都是正方形，请证明；（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取
中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知
，，直接写出的长度．
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9 . 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务．
(1)材料中的依据为______；
(2)把材料中的证明过程补充完整；
(3)古希腊数学家帕普斯在梅文鼎证法的基础上进行了改进，如图（3），中，
，，以
为边作
和
，且中边的高为2，的面积为6，延长
交于点R，连接
并延长，过点B作
，且
，再以
为边作
．请直接写出中边的高．
从毕达哥拉斯到帕普斯 毕达哥拉斯从地板的结构中发现了直角三角形的三边关系——勾股定理，之后相继有很多数学家及数学爱好者都用面积割补法给出了验证．如我国三国时期的数学家赵爽，美国第二十任总统加菲尔德等．欧几里得在《几何原本》中第一次在公理体系下给出了以三角形为“桥梁”证明勾股定理的方法：如图（1），过点A作  ，交于点M，连接 ．先证明  ，所以 ．又因为  ， ，所以  ．同理得  ，则 ，即  ．之后，我国清代数学家梅文鼎在欧几里得证法的基础上，进行了“改进”，以平行四边形作为“桥梁”进行了证明．如图（2），延长 交于点P，连接 并延长分别交 于点M，N，延长 交于点Q．
 为矩形，∴ ．∵四边形  ，四边形 都是正方形，∴  ， ， ．∴  ．∴  ， ．∵  ，∴  ．∴  ．∴  ．∵四边形  为正方形，∴  ， ，∵  ．∴  ．∴  ．∴  ．∵四边形 为正方形，∴  ．∴四边形  为平行四边形（依据______）∴  ，∵ ，∴  ．∵  ，∴  ．∵  ， ．∴  ．…… |
(1)材料中的依据为______；
(2)把材料中的证明过程补充完整；
(3)古希腊数学家帕普斯在梅文鼎证法的基础上进行了改进，如图（3），
中，，，以为边作和，且中边的高为2，的面积为6，延长交于点R，连接并延长，过点B作，且，再以为边作．请直接写出中边的高．
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10 . 如图，
，且
，
．
，垂足为点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接
，判断和的数量关系，并说明理由．（如果未完成第1问的作图，可以作草图完成此问）
，且，．
，垂足为点F；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接
，判断和的数量关系，并说明理由．（如果未完成第1问的作图，可以作草图完成此问）
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