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1 . 如图1，在
中，
，点D在
延长线上，点E在
上，连接
，使
．
相等的角为：________；
(2)判断
与
之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，
的角平分线
交
于点G，交
于点F，若
，求
的值．
中，，点D在延长线上，点E在上，连接，使．
相等的角为：________；(2)判断
与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，
的角平分线交于点G，交于点F，若，求的值．
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2 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：
如图1：在中，
，
，D是的中点，求边上的中线
的取值范围．
【问题初探】：
第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得
，连接
．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，
集中到
中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围，
第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作
的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到
，同样就把线段，，集中到
中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题
【类比分析】
（2）如图4：在中，
，
，是的中线，
，
且
．求
的长度．
【思维拓展】
（3）如图5：在中，
于点F在右侧作
，且
，在的左侧作
，且
，连接
，延长
交于点O，证明O为中点．
如图1：在
中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．【问题初探】：
第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长
至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围，第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作
的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题
【类比分析】
（2）如图4：在
中，，，是的中线，，且．求的长度．【思维拓展】
（3）如图5：在
中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点．
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3 . （1）如图1，已知正方形纸片
，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长
交
于点F，连接，求
的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿
继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则
①
；
②若
线段 
；
（3）如图3，在矩形中，
，点E、F 分别在边
上，将矩形沿
折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 
，求
的长．
，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数；（2）如图2，将正方形纸片沿
继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则①
；②若
线段 ；（3）如图3，在矩形
中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．
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4 . 图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知
，
，
，
，则
的度数为（ ）
，，，，则的度数为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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5 . 如图，将长方形纸片沿
折叠后，点A，B分别落在
，
的位置，
交于G．再将
沿翻折得到
，若点H恰好落在线段上，则
__________ ．
沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，交于G．再将沿翻折得到，若点H恰好落在线段上，则
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6 . 如图，在中，
，
，
，是的中位线，点F 在上，与相交于点G，若
，则的长为__________ ．
中，，，，是的中位线，点F 在上，与相交于点G，若，则的长为
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7 . 【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看做由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积，即可得到一个乘法公式___________．
(2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形
．
①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程；
②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且
．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离．
，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看做由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积，即可得到一个乘法公式___________．(2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形
，中间是一个小正方形．①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程；
②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且
．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离．
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8 . 如图，已知
，
．
．请将下面证明过程补充完整：
证明：∵
（已知）
∴
（①____________）
又∵（已知）
∴②_____________（③____________）
∴
（④_____________）
∴（两直线平行；同位角相等）
(2)若平分
，
于点E，
，求
的度数．
，．
．请将下面证明过程补充完整：证明：∵
（已知）∴
（①____________）又∵
（已知）∴②_____________（③____________）
∴
（④_____________）∴
（两直线平行；同位角相等）(2)若
平分，于点E，，求的度数．
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9 . 尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段a，b和
求作：使
，
，
已知：已知线段a，b和
求作：
使，，
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10 . 在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________ ．
是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是
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