1 . 如图，图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
   
(1)在图①中，点P为与的交点，则的值为________；
(2)在图②中，在线段上确定一点Q，使；
(3)在图③中，在线段上确定一点K，连结、，使．

2 . 如图，和都是等腰直角三角形，，，，，点为边中点．

(1)如图1，当点在上，连接，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论．
(2)如图2，将绕点旋转，连接，且，，三点恰好在一条直线上，交于点，连接．
①（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由．
②若，，请直接写出线段，的长．

3 . 如图，连接，点D在边上（点D不与点B，C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，．

(1)求证：
(2)①若且与的数量关系满足求的面积．
②若连接，则的面积是否为定值，若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．

4 . 阅读与理解：
图①是边长分别为和()的两个等边三角形纸片和叠放在一起(点与点重合)的图形．
操作与证明：
(1)操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)操作：若将图①中的绕点按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你直接写出当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？

5 . 如图，点是上一点，分别以、为边，在的同侧作等边三角形和．

(1)指出以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到的三角形；
(2)若与交于点，求的度数．

6 . 阅读理解：
（1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由；
   
拓展延伸：
（2）如图2，任等腰直角三角形中，，，点、在边上，且，写出图中线段、、之间的数量关系并证明.
       

8 . 已知为等边三角形，点D为直线的一个动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F逆时针排列），使，连接．
   
(1)如图1，当点D在边上时，求证：①；②；
(2)如图2，点D在的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出之间存在的数量关系，并说明理由．

9 . 如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为__________．

10 . 在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答．
在中，过点B作于点E，点F在边上，，连接．求证：四边形是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路：
小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．

(1)小星的思路______，小红的思路______（选填“正确”或“错误”）；
(2)请选择小红或小星的思路完善证明过程．