1 . 问题提出
（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“”）

问题探究
（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最小时，求的长；

问题解决
（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．

2 . 问题提出
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝6，求△ABC的外接圆半径R的值；
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝8，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．

3 . 我们知道，三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心(即三角形内切圆的圆心) . 现在规定，如果四边形的四条角平分线交于一点，我们把这个点称为“四边形的内心”．

问题提出
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的内心，若直线DE分别交边AC、BC于点D、E，且点O仍然为四边形ABED的内心，这样的直线DE可以画多少条?请在图1中画出一条符合条件的直线DE，并简要说明画法．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，∠C=90°， AC=3， BC=4，若满足(1)中条件的一条直线DE // AB，求此时线段DE的长；
问题解决
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，问满足（1）中条件的线段DE是否存在最小值?如果存在，请求出这个值;如果不存在，请说明理由．

4 . 问题提出：
（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为　 　；
问题探究
（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是 上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．
（i）求证：△OAP～△OPF；
（ii）求BP+2AP的最小值；
问题解决：
（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）

5 . 探究：
某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在中，点在线段上， ， ， ，．求的长．
经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，连结，如图②所示，通过构造就可以解决问题．
请你写出求、的度数和求长的过程．
应用：
如图③，在四边形中，对角线与相交于点， ， ，．若，则的长为         ， 的长为          ．

6 . 【提出问题】
（1）如图（1）△ABC是等边三角形，AB＝12．若点O是△ABC的内心，则OA的长为____；
【问题探究】
（2）如图（2）在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，如果点P是AD上的一点，且AP＝3，那么在BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在求出PQ的长，若不存在，请说明理由；
【解决问题】
（3）东胜区铁西街角有一块如图（3）的草坪，草坪是由△ABM和弦AB与其所对的劣弧组成，管理员王师傅在M处的水管上安装一个喷灌水龙头（水龙头及水柱高度忽略不计），以后只用水龙头浇灌草坪，于是他想让水龙头的转角正好等于∠AMB，再调整水龙头的射程就可以了．经测量AB＝24m，MB＝10m，△ABM的面积是96平方米，过弦AB中点D作DE⊥AB交弧AB于点E，DE＝8m．请你根据以上信息帮助王师傅计算喷灌水龙头的射程至少多少m时才能全部浇灌？（结果保留根号即可）

7 . 发现问题：
（1）如图①，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中S_△ABC＝15，BC＝6，DE＝4，则S_{四边形DEFG}＝　 　；
探究问题：（2）如图②，在△ABC中，D是BC边上一点且BD＝AD＝AC＝10，∠BAD＝40°，请以点D为顶点作△ABC的内接三角形DEF（点E、F分别在AB、AC上），求其周长的最小值；
解决问题：（3）小红同学参加了物理课外兴趣小组．图③是其制作的一个光电感应装置在某时刻的平面情景图，在边长为20厘米的正方形ABCD中，P为AB的中点，点P位置是一个激光发射器，可以左右来回180°转动，同时在正方形ABCD内发出两条互相垂直的蓝色光线PE、PF，E、F是落在AD、DC、CB三边上的两个光点，E、F、P三点会在正方形ABCD内自动感应出一个发光△PEF，请问在激光器转动发射的过程中，形成的△PEF面积有无最大值，如果有，请求出；如果没有，请说明理由．

8 . 问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，

（1）填空：的值为 ；       ∠AMB的度数为 ,
（2）类比探究，如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由：

9 . 在一次关于相似三角形的探究活动中，如图所示：，老师让大家适当的添上辅助线，看看还能得到哪些相似三角形，小颖连接、，且、相交于点，于是她得到了.下面是她的证明过程的一部分，你能帮助她完成证明吗？

（1）证明：∵，
∴
∴___________________
又∵__________________________________________________
∴
（2）你还能得到图中哪些三角形是相似的？至少写出两对.

10 . 问题探究
（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,连接AD、BE,求的值；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，过点A作AM⊥AB，点P是射线AM上一动点，连接CP，作CQ⊥CP交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值；

（3）李师傅准备加工一个四边形零件，如图3，这个零件的示意图为四边形ABCD，要求BC=4cm，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD，请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值．

图3