1 . 设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~.
(1)设，，，，求集合与；
(2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，；
(3)已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.

2 . 若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.

3 . 已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时．
（i）求证：函数在上单调递增；
（ii）设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．

4 . 已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点．
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）若，求直线l的方程．

5 . 定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.

6 . 已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，，求的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

7 . 定义：若变量，且满足：，其中，称是关于的“型函数”.
(1)当时，求关于的“2型函数”在点处的切线方程；
(2)若是关于的“型函数”，
（i）求的最小值：
（ii）求证：，.

8 . 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”．
(1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由；
(2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；
(3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．

9 . 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．

10 . 在数学中，由个数排列成的m行n列的数表称为矩阵，其中称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若，，则，其中.已知，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若是的两个极值点，证明：，.