1 . 如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点.

(1)若为等腰三角形，求P点坐标;
(2)若直线分别交圆于两点.
①求证：直线过定点，并求出定点坐标;
②求四边形面积的最大值.

2 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点（）在椭圆上，若点，分别在直线，上.
(1)求的值；
(2)连接并延长交椭圆于点，求证：，，三点共线.

3 . 向量外积（又称叉积）广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量与的叉积，规定的模长为，与、所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且.

(1)直接写出结果：①        ;②        ;
(2)空间直角坐标系中有向量，
①若，用含的坐标表示；
②证明：；
(3)如图2所示，平面直角坐标系中有三角形OAB，，试探究的表达式.

4 . 如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M.

(1)求M的方程；
(2)设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点.

5 . 如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：，．

6 . 空间内一点P可用三个有次序的数来确定，其中r为原点O与点P间的距离；为有向线段与z轴正向的夹角；为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到所转过的角，这里M为点P在面上的投影，这样的三个数叫做点P的球面坐标，其中，，，如图所示. 球面距离是指球面上两点之间的最短路径长度，这条路径是通过这两点的大圆上的劣弧（大圆是过球心的平面与球面相交形成的圆）.

(1)已知，，求A，B间的球面距离；
(2)若，，记P，Q间的球面距离为d，证明：.

7 . 如图，三角形中，所对的边分别为，满足，，为线段上两点，满足.

(1)判断的形状，并证明；
(2)证明：；
(3)直接写出的最小值.

8 . 已知双曲线的方程为，其中是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为．
(1)证明：；
(2)求的值．

9 . 某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.
附：若，取，.
(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.   系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？
②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.

10 . 函数图像与轴的两交点为
(1)令，若有两个零点，求实数的取值范围；
(2)证明：；
(3)证明：当时，以为直径的圆与直线恒有公共点．
（参考数据：）