1 . 已知函数（且）.
(1)求证：函数的图象过定点，并写出该定点；
(2)设函数，且，试证明：函数在区间上有唯一零点.

2 . 已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)数列是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求；
(3)求证：．

3 . 如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置．

(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长．

4 . 已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且.
(1)求证：；
(2)证明：在上为减函数；
(3)若，求实数的值.

5 . 如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆C：（a>b>0）的离心率，短轴长为.如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点.

(1)求证：为定值；
(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.

7 . 设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：数列是递增数列；
(3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由．

8 . 使用科学、正确的方法证明.
(1)已知，试用分析法证明：.
(2)已知，，求证与中至少有一个小于2.

9 . 将平面直角坐标系中的一列点．记为，设，其中为与y轴正方向相同的单位向量若对任意的正整数n，都有，则称为T点列．
(1)判断点列是否为T点列，直接写出结果；
(2)求证是T点列：
(3)若为T点列，且．任取其中连续三点，证明为钝角三角形．

10 . 如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值；
(3)能否在上找一点，使得平面？若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．