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1 . 已知分别满足下列关系:,则的大小关系为( )
A. | B. |
C. | D. |
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2 . 若关于x的不等式恒成立,则实数的最大值为( )
A.1 | B. | C. | D. |
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3 . 从抛物线上各点向轴作垂线段,垂线段中点的轨迹为.
(1)求的轨迹方程;
(2)是上的三点,过三点的三条切线分别两两交于点,
①若,求的值;
②证明:三角形与三角形的面积之比为定值.
(1)求的轨迹方程;
(2)是上的三点,过三点的三条切线分别两两交于点,
①若,求的值;
②证明:三角形与三角形的面积之比为定值.
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4 . 已知椭圆:()的半长轴的长度与焦距相等,且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线:与椭圆交于,两点,过点的直线交椭圆于,两点(在靠近的一侧)
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)在直线上是否存在一定点,使恒成立?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线:与椭圆交于,两点,过点的直线交椭圆于,两点(在靠近的一侧)
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)在直线上是否存在一定点,使恒成立?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
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解题方法
5 . 已知函数,.(注:是自然对数的底数)
(1)若无极值点,求实数的取值范围;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
(1)若无极值点,求实数的取值范围;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
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6 . 设点()是抛物线上任意一点,过点作抛物线的两条切线,分别交抛物线于点和点,则下列结论正确的是( )
A. | B. |
C. | D.直线与抛物线相切 |
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解题方法
7 . 如图所示是一个以为直径,点为圆心的半圆,其半径为4,为线段的中点,其中,,是半圆圆周上的三个点,且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段,若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面,则在该圆锥中下列结果正确的是( )
A.为正三角形 | B.平面 |
C.平面 | D.点到平面的距离为 |
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8 . AI机器人,即人工智能机器人,是一种基于人工智能(AI)技术的机器人,目前应用前景广阔.我国某企业研发的家用AI机器人,其生产共有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道工序是出厂检测工序,包括智能自动检测与人工抽检,其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰,合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为,,.
(1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%,求在人工抽检时,工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率;
(2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力,在直播现场进行家用AI机器人推广活动,现场人山人海,场面火爆,从现场抽取幸运顾客参与游戏,游戏规则如下:参与游戏的幸运顾客,每次都要有放回地从10张分别写有数字1~10的卡片中随机抽取一张,指挥家用机器人运乒乓球,直到获得奖品为止,每次游戏开始时,甲箱中有足够多的球,乙箱中没有球,若抽的卡片上的数字为奇数,则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱;若抽的卡片上的数字为偶数,则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱,当乙箱中的乒乓球数目达到9个时,获得奖品优惠券400元;当乙箱中的乒乓球数目达到10个时,获得奖品大礼包一个,获得奖品时游戏结束.
①求获得“优惠券”的概率;
②若有32个幸运顾客参与游戏,每人参加一次游戏,求该企业预备的优惠券总金额的期望值.
(1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%,求在人工抽检时,工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率;
(2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力,在直播现场进行家用AI机器人推广活动,现场人山人海,场面火爆,从现场抽取幸运顾客参与游戏,游戏规则如下:参与游戏的幸运顾客,每次都要有放回地从10张分别写有数字1~10的卡片中随机抽取一张,指挥家用机器人运乒乓球,直到获得奖品为止,每次游戏开始时,甲箱中有足够多的球,乙箱中没有球,若抽的卡片上的数字为奇数,则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱;若抽的卡片上的数字为偶数,则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱,当乙箱中的乒乓球数目达到9个时,获得奖品优惠券400元;当乙箱中的乒乓球数目达到10个时,获得奖品大礼包一个,获得奖品时游戏结束.
①求获得“优惠券”的概率;
②若有32个幸运顾客参与游戏,每人参加一次游戏,求该企业预备的优惠券总金额的期望值.
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9 . 已知函数().
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
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10 . 射影几何学中,中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影,如图,光从点出发,平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点,若,,定义比值叫做这四个有序点的交比,记作.(1)当时,称为调和点列,若,求的值;
(2)①证明:;
②已知,点为线段的中点,,,求,.
(2)①证明:;
②已知,点为线段的中点,,,求,.
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