1 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．

2 . 对三次函数，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数，设，存在，满足.证明：存在，使得；
(2)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点，使得.在平面直角坐标系中，是第一象限上一点，设.已知在上有两根.
（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是；
（ii）求点组成的点集，满足是上的广义正弦函数.

4 . 已知双曲线：的左右顶点分别为、．
(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
(3)动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点（异于），点（常数）是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值．

5 . 已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（     ）

A．

B．

C．

D．

7 . 设是面积为1的等腰直角三角形，是斜边的中点，点在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时，_________；记，则实数的取值范围为_________．

8 . 棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为______.