1 . 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
(3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.

2 . 已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．

3 . 如图，对于曲线，若存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在处的导数（即曲线在点的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径.

   

(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)（i）求证：平面曲线在点的曲率半径为（其中表示的导函数）；
（ii）若圆为函数的一个曲率圆，求圆半径的最小值；
(3)若曲线在处有相同的曲率半径，求证：.

6 . 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称夌克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
(3)已知，证明：．

7 . 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为，规定：.






……     …     …     …     …     …
(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.

8 . 如图，四边形为坐标原点是矩形，且，，点，点，分别是，的等分点，直线和直线的交点为

(1)试证明点在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程；
(2)已知点P是圆上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求面积的取值范围.
注：椭圆上任意一点处的切线方程是：