1 . 已知数列,,函数,其中,均为实数.
(1)若,,,,,
(ⅰ)求数列的通项公式;
(ⅱ)设数列的前项和为,求证:.
(2)若为奇函数,,,且,问:当时,是否存在整数,使得成立.若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.(附:,)
(1)若,,,,,
(ⅰ)求数列的通项公式;
(ⅱ)设数列的前项和为,求证:.
(2)若为奇函数,,,且,问:当时,是否存在整数,使得成立.若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.(附:,)
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2 . 现有A,B两个不透明盒子,都装有m个红球和m个白球,这些球的大小、形状、质地完全相同.
(1)若,甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球,设X表示三人摸出的白球个数之和,求X的分布列与数学期望;
(2)若,从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,次这样的操作后,记A盒子中红球的个数为,求:
(i)的概率;
(ii)的分布列.
(1)若,甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球,设X表示三人摸出的白球个数之和,求X的分布列与数学期望;
(2)若,从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,次这样的操作后,记A盒子中红球的个数为,求:
(i)的概率;
(ii)的分布列.
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3 . 高中教材必修第二册选学内容中指出:设复数对应复平面内的点,设,,则任何一个复数都可以表示成:的形式,这种形式叫做复数三角形式,其中是复数的模,称为复数的辐角,若,则称为复数的辐角主值,记为.复数有以下三角形式的运算法则:若,则:,特别地,如果,那么,这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题:
(1)求复数,的模和辐角主值(用表示);
(2)设,,若存在满足,那么这样的有多少个?
(3)求和:
(1)求复数,的模和辐角主值(用表示);
(2)设,,若存在满足,那么这样的有多少个?
(3)求和:
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2024-06-12更新
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165次组卷
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2卷引用:湖南省邵阳市第二中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题
4 . 集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和,定义和集,用符号表示和集内的元素个数.
(1)已知集合,,,若,求的值;
(2)记集合,,,为中所有元素之和,,求证:;
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明:若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
(1)已知集合,,,若,求的值;
(2)记集合,,,为中所有元素之和,,求证:;
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明:若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
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5 . 若函数及其导函数均在区间D上有定义,且对于,都有恒成立,则称函数在区间D上为k级单增函数.
(1)证明:在区间内为5级单增函数;
(2)若在区间上为3级单增函数,求实数a的取值范围.
(1)证明:在区间内为5级单增函数;
(2)若在区间上为3级单增函数,求实数a的取值范围.
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解题方法
6 . 已知抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为.
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线上一点作抛物线的切线,分别交轴于点,交轴于点.点在抛物线上,点在线段上,满足能;点在线段上,满足,且,线段与交于点,当点在抛物线上移动时,求点的轨迹方程.
(3)将向左平移个单位,得到,已知,,过点作直线交于.设,求的值
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线上一点作抛物线的切线,分别交轴于点,交轴于点.点在抛物线上,点在线段上,满足能;点在线段上,满足,且,线段与交于点,当点在抛物线上移动时,求点的轨迹方程.
(3)将向左平移个单位,得到,已知,,过点作直线交于.设,求的值
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2024-06-04更新
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740次组卷
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3卷引用:湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期模拟考试数学试卷(一)
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7 . 极值的广义定义如下:如果一个函数在一点的一个邻域(包含该点的开区间)内处处都有确定的值,而以该点处的值为最大(小),这函数在该点处的值就是一个极大(小)值.
对于函数,设自变量x从变化到,当,是一个确定的值,则称函数在点处右可导;当,是一个确定的值,则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等,则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子,说明该函数在某点处不可导,但是该点是该函数的极值点;
(2)已知函数.
(ⅰ)求函数在处的切线方程;
(ⅱ)若为的极小值点,求a的取值范围.
对于函数,设自变量x从变化到,当,是一个确定的值,则称函数在点处右可导;当,是一个确定的值,则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等,则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子,说明该函数在某点处不可导,但是该点是该函数的极值点;
(2)已知函数.
(ⅰ)求函数在处的切线方程;
(ⅱ)若为的极小值点,求a的取值范围.
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8 . 已知数列的通项为,前项和为,则下列选项中正确的有( )
A.如果,则,,使得 |
B.如果,则,,使得 |
C.如果,则,,使得 |
D.如果,,使得,则,,便得 |
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2024-05-21更新
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962次组卷
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3卷引用:湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期模拟试卷(二)数学试题
9 . 若数列在某项之后的所有项均为一常数,则称是“最终常数列”.已知对任意,函数和数列满足.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
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10 . 定义:在平面直角坐标系中,设,,那么称为P,Q两点的“曼哈顿距离”.
(1)若点,求到点O的“曼哈顿距离”为1的点的轨迹;
(2)若点E是直线l:上的动点,点F是圆C:上的动点,求的最小值;
(3)若点M是函数图象上一动点,其中e是自然对数的底数.点是平面中任意一点,的最大值为,求的最小值.
(1)若点,求到点O的“曼哈顿距离”为1的点的轨迹;
(2)若点E是直线l:上的动点,点F是圆C:上的动点,求的最小值;
(3)若点M是函数图象上一动点,其中e是自然对数的底数.点是平面中任意一点,的最大值为,求的最小值.
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