解题方法
1 . 设数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求数列的通项公式；
(2)解关于的不等式：
；
(3)若
，求证：数列
前项和小于
．
的前项和为，且满足．(1)求数列
的通项公式；(2)解关于
的不等式：；(3)若
，求证：数列前项和小于．
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2 . 已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，对于数列
，若
，下列说法正确的是（ ）
是定义在上的奇函数，且当时，，对于数列，若，下列说法正确的是（ ）A．存在 的等比数列 ，使得 为等比数列 |
B． ，均存在等差数列，使得为等差数列 |
| C．，均不存在等比数列，使得为等差数列 |
D．若存在等差数列，使得为等比数列，且 ，则 的最小值为 |
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3 . 我们称各项均不相等的正项数列
为“冒泡数列”，对任意冒泡数列，我们按如下步骤进行操作，称为“冒泡操作”
比较
的大小，若
，则交换的位置；
设前述所有步骤后数列变为
，比较
的大小，若
，则交换的位置，再继续比较
的大小，若
，再交换；
设前述所有步骤后数列变为
，比较
的大小，若
，则交换的位置，再继续比较
的大小，
，直到比较得到
时或者
调整位置至首位时停止比较和交换位置，并进行下一步；
设前述所有步骤后数列变为
，比较
的大小，若
，则交换的位置，再继续比较
的大小，…，直到比较得到
或者
调整位置至首位时结束操作．
(1)请对数列
5，3，2，9，7作冒泡操作，可表示为
请写出操作结束后得到的数列，并计算交换位置的次数．
(2)对于某个项冒泡数列
当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”，记为
（i）求
的最小值和最大值；
（ii）对于某个项冒泡数列
及其各项全排列产生的所有不同数列，其交换复杂度的平均数记为
，求的通项．
为“冒泡数列”，对任意冒泡数列，我们按如下步骤进行操作，称为“冒泡操作”比较的大小，若，则交换的位置；设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，若，再交换；设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，，直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置，并进行下一步；设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，…，直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作．(1)请对数列
5，3，2，9，7作冒泡操作，可表示为请写出操作结束后得到的数列，并计算交换位置的次数．(2)对于某个
项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”，记为（i）求
的最小值和最大值；（ii）对于某个
项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列，其交换复杂度的平均数记为，求的通项．
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4 . 把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．
(1)若是1，2，3，…，8的生成数列，记
，数列
所有项的和为S，求S所有可能取值的和；
(2)若是1，2，3，…，10的生成数列，记
，若数列中的最小项为T．
①证明：
；
②求T的最大值．
，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．(1)若
是1，2，3，…，8的生成数列，记，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和；(2)若
是1，2，3，…，10的生成数列，记，若数列中的最小项为T．①证明：
；②求T的最大值．
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解题方法
5 . 设函数
在区间
上的导函数为
，且在上存在导函数
（其中
）.定义：若在区间上
恒成立，则称函数
在区间上为凸函数.已知
，
（
）.
(1)判断函数在区间
上是否为凸函数，说明理由；
(2)已知函数
为
上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数
图象上任意一点的切线总在的图象的上方；
(3)若
，求函数
（
）的最小值.
在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）.(1)判断函数
在区间上是否为凸函数，说明理由；(2)已知函数
为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方；(3)若
，求函数（）的最小值.
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解题方法
6 . 已知函数
(1)若
恒成立，求的值；
(2)求证：
．
(1)若
恒成立，求的值；(2)求证：
．
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7 . 已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
中有
个元素，若
中任意两个元素间的距离的最小值为
，求证
，对于，，定义与之间的距离为．(1)已知
，写出所有的，使得；(2)已知
，若，并且，求的最大值；(3)设集合
中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证
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8 . 定义：对于数列
，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数
，且小于或等于另一个常数
，则叫作类等差数列（若
，则是等差数列）．
(1)若类等差数列满足
，
，
，
均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项
与首项
及
的不等式关系，要求写出推导过程）；
(2)若数列中，
，
．判断数列
是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由．
，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）．(1)若类等差数列
满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）；(2)若数列
中，，．判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由．
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9 . 已知函数
，
为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若
是的极大值点，求的取值范围；
(3)若
，证明：
．
，为的导数(1)讨论
的单调性；(2)若
是的极大值点，求的取值范围；(3)若
，证明：．
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2024-06-08更新
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1433次组卷
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6卷引用：江苏省扬州市扬州中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
江苏省扬州市扬州中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题山东省枣庄市2024届高三三调数学试题山东省青岛市2024届高三下学期第二次适应性检测数学试题（已下线）山东省济南市2024届高三下学期5月适应性考试（三模）数学试题（已下线）专题9 利用放缩法证明不等式【练】湖北省武汉市汉铁高级中学2024届高考数学考前临门一脚试卷
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10 . 对于一元三次函数
（
）图象上任一点
，若在点处的切线与的图象交于另一点
，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（ ）
（）图象上任一点，若在点处的切线与的图象交于另一点，则称为的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（ ）A．点 没有“伴随割点” |
B．若点 的“伴随割点”为点 ，则 |
C．若的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则 |
D．若的图象与 轴的交点分别为 ，它们的“伴随割点”存在且分别为， ， ，则，，三点共线 |
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