1 . 已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对，恒成立（为的导数）；
(3)设，证明：（）.

2 . 若有穷数列满足：且，则称其为“阶数列”.
(1)若“6阶数列”为等比数列，写出该数列的各项；
(2)若某“阶数列”为等差数列，求该数列的通项（，用表示）；
(3)记“阶数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为“阶数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

3 . 如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设.

(1)当平面时，求实数的值；
(2)当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

4 . 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由；
(2)若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围.

5 . 设函数，则（        ）

A．当时，直线不是曲线的切线

B．若有三个不同的零点，则

C．当时，存在等差数列，满足

D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则

7 . 甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
(1)求 与 ；
(2)设 ，求证：数列是等比数列；
(3)求 的数学期望 （用 表示）.

8 . 已知函数（）．
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：（，）；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．

10 . 已知函数的导函数为.
(1)若，求的取值范围；
(2)若有两个极值点，证明：.