1 . 已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；
(3)过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知.证明：
(1)若函数有极大值，则；
(2)若函数没有极值点，则对任意的，都有；
(3)若，则在区间内有且仅有一个实数，使得.

3 . 已知椭圆：和抛物线：，点Q为第一象限中抛物线上的动点，过Q作抛物线的切线l分别交y轴、x轴于点A、B，F为抛物线的焦点.

（Ⅰ）求证：平分；
（Ⅱ）若直线l与椭圆相切于点P，求面积的最小值及此时p的值.

4 . 已知.其中常数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）若对任意均有两个极值点，
（ⅰ）求实数b的取值范围；
（ⅱ）当时，证明：.

5 . 已知椭圆的左焦点，点为椭圆C上一点，如图，经过圆上一动点P作椭圆C的两条切线分别切于点A，B，切线分别与圆O相交于异于点P的点M，N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）记.
（i）证明：；
（ii）求的取值范围.

6 . 已知函数.
（1）若在上为单调递增函数，求实数的最小值.
（2）若有两个极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.

7 . 已知，函数，其中为自然对数的底数.
（1）证明：函数在上有唯一零点；
（2）记为函数在上的零点，证明：.(参考数值：)

8 . 已知函数（是自然对数的底数）．
（1）设，，求证：；
（2）设，若，试讨论在上的零点个数．（参考数据）

9 . 已知正项数列的前项和为，且，.
（1）求，的值，并写出数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

10 . 对于二元函数，若存在正实数，使得不等式恒成立，则称函数可以被控制.已知，，满足.
（1）若，函数，证明：可以被1控制；
（2）若函数可以被控制，求的值.注：为自然对数的底数.