1 . 已知函数
．
(1)讨论函数
在
上的单调性；
(2)当
时，
①判断函数的零点个数，并证明．
②求证：
．
．(1)讨论函数
在上的单调性；(2)当
时，①判断函数
的零点个数，并证明．②求证：
．
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名校
2 . 若函数
的定义域为
，且对于任意的
、
，“
”的充要条件是“
”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数
，记
，
，
，…，
，其中
，2，3，…，并对任意的
，记集合
，并规定
.
(1)若
，函数的定义域为
，求
和
；
(2)若函数的定义域为，且存在正整数
，使得对任意的
，
，求证：函数为上的“单值函数”；
(3)设
，若函数的定义域为
，且表达式为：
判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间
，存在正整数
，使得
.
的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定.(1)若
，函数的定义域为，求和；(2)若函数
的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”；(3)设
，若函数的定义域为，且表达式为：判断
是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得.
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3 . 已知椭圆：
：
的离心率
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
.
，
是椭圆的两个焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设
为E的左顶点，过点作两条互相垂直的直线
分别与E交于
，两点，证明：直线
经过定点，并求这个定点的坐标．
(3)设
是椭圆上一点，直线
与椭圆交于另一点
，点
满足：
轴且
，求证：
是定值.
： 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点.(1)求椭圆
的方程；(2)设
为E的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与E交于，两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．(3)设
是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值.
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4 . n个有次序的实数
，
，
，
所组成的有序数组
称为一个n维向量，其中
称为该向量的第
个分量．特别地，对一个n维向量
，若
，
，称
为n维信号向量．设，
，
则和
的内积定义为
，且
．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量.
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，
，，
满足它们的前m个分量都是相同的，求证：
．
，，，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量．设，，则
和的内积定义为，且．(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量.
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，，，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：．
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名校
解题方法
5 . 已知点
在双曲线
上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于
两点，其中O为坐标原点，求证：
的面积
是定值；
(2)已知点
，过点作动直线
与双曲线右支交于不同的两点､
，在线段
上取异于点､的点
，满足
，证明：点恒在一条定直线上．
在双曲线上．(1)双曲线上动点Q处的切线交
的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；(2)已知点
，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．
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2023-05-17更新
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1094次组卷
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4卷引用：山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题安徽省舒城中学2023届仿真模拟卷（二）数学试题（已下线）专题3.9 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练【九大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题突破卷23 圆锥曲线大题归类
名校
解题方法
6 . 已知函数
.
(1)证明：函数在定义域内存在唯一零点；
(2)设
，试比较
与
的大小，并说明理由：
(3)若数列
的通项
，求证
.
.(1)证明：函数
在定义域内存在唯一零点；(2)设
，试比较与的大小，并说明理由：(3)若数列
的通项，求证.
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2023-08-10更新
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380次组卷
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2卷引用：广东省佛山市南海区2022-2023学年高二下学期期中数学试题
名校
解题方法
7 . 对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
使得
，则称
具有性质．
(1)判断
是否具有性质；
(2)若
，且
具有性质，求
的值；
(3)若具有性质，求证：
且当
时，
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．(1)判断
是否具有性质；(2)若
，且具有性质，求的值；(3)若
具有性质，求证：且当时，．
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2024-04-29更新
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356次组卷
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7卷引用：北京市第四十四中学2022-2023学年高一下学期期中练习数学试题
名校
解题方法
8 . 已知椭圆
经过点
，焦距为
是椭圆上不在坐标轴上的两点，且关于坐标原点对称，设点
，直线
交椭圆于另一点，直线
交椭圆于另一点．
(1)求椭圆
的标准方程；(2)记直线
与的斜率分别为
，求证：
为定值．
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2023-11-19更新
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468次组卷
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2卷引用：浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题
9 . 已知双曲线
的左顶点
，一条渐近线方程为
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的右顶点为
为直线
上的动点，连接
交双曲线于
两点（异于），记直线与轴的交点为．
①求证：为定点；
②直线交直线于点，记
．求证：
为定值．
的左顶点，一条渐近线方程为．(1)求双曲线
的标准方程；(2)设双曲线
的右顶点为为直线上的动点，连接交双曲线于两点（异于），记直线与轴的交点为．①求证：
为定点；②直线
交直线于点，记．求证：为定值．
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2023-11-09更新
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885次组卷
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3卷引用：江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题
江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题江苏省淮安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题03 圆锥曲线题型全归纳（九大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）
名校
解题方法
10 . 已知函数
.
(1)当
时，求函数
在区间
上的最大值；
(2)若
为函数
的极值点，求证：
.(1)当
时，求函数在区间上的最大值；(2)若
为函数的极值点，求证：
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2023-09-23更新
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544次组卷
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3卷引用：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024届高三上学期期中数学试题
辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024届高三上学期期中数学试题四川省江油中学2023-2024学年高三上学期9月月考数学（理）试题（已下线）第六章 导数与不等式恒成立问题 专题一 两类重要不等式 微点3 两类重要不等式综合训练
