1 . 我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对
表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组
称为n维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等：设
，
，则
；
．已知向量满足
，向量满足
．
(1)求
的值；
(2)若
，其中
，当
且
时，证明：
．
表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等：设，，则；．已知向量满足，向量满足．(1)求
的值；(2)若
，其中，当且时，证明：．
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名校
2 . 随着牡丹花期结束，曹州牡丹园为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对200位游客进行了满意度调查，其中100位男性中有86位满意；100位女性中有94位满意：
(1)根据小概率值
的独立性检验，能否推断游客对该牡丹园的满意度与性别有关；
(2)若用频率估计概率，从该牡丹园的游客中随机选取3人，设3人中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
，
．
(1)根据小概率值
的独立性检验，能否推断游客对该牡丹园的满意度与性别有关；(2)若用频率估计概率，从该牡丹园的游客中随机选取3人，设3人中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
，．
| 0.1 | 0.05 | 0.01 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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3 . 已知在平面直角坐标系
中，一直线与从原点
出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于
，
两点，且满足
，线段
的中点为
，记点的轨迹为
．
(1)求轨迹的方程；
(2)点
，
，
，过点
的一条直线
与交于
、
两点，直线
，
分别交直线
于点
，
，且满足
，
，证明：
为定值.
中，一直线与从原点出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于，两点，且满足，线段的中点为，记点的轨迹为．(1)求轨迹
的方程；(2)点
，，，过点的一条直线与交于、两点，直线，分别交直线于点，，且满足，，证明：为定值.
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解题方法
4 . 定义:如果数列
从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"．
(1)若数列的前
项和
满足
，且
，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)；
(2)若公比为
的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；
(3)若“跳动数列”满足
，证明：
或
．
从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"．(1)若数列
的前项和满足，且，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)；(2)若公比为
的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；(3)若“跳动数列”
满足，证明：或．
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解题方法
5 . 投壶是古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏.《礼记・投壶》说：“投壶者，主人与客燕饮，讲论才艺之礼也.”春秋战国时期，诸侯宴请宾客时的礼仪之一就是请客人射箭，后来慢慢用投壶代替了射箭，成为一种大众游戏.甲、乙两人做投壶游戏，比赛规则：第1次用抛一枚质地均匀的硬币确定甲、乙谁先投箭，投入壶内继续，未投入壶内换另一人，依次类推.假设甲、乙两人投壶互不影响，甲把箭投入壶内的概率为
，乙把箭投入壶内的概率为
.
(1)求第2次是乙投的概率；
(2)求两次投完后，甲投中的箭数的分布列和数学期望.
，乙把箭投入壶内的概率为.(1)求第2次是乙投的概率；
(2)求两次投完后，甲投中的箭数的分布列和数学期望.
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名校
解题方法
6 . 已知函数
，
．
(1)若
在
上不单调，求
的取值范围；
(2)当
时，试讨论的零点个数．
，．(1)若
在上不单调，求的取值范围；(2)当
时，试讨论的零点个数．
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2024-05-30更新
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563次组卷
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2卷引用：山东省菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
名校
7 . 近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
，第六组
，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求
；
(2)估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充
列联表，并判断是否有
的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.
附：
，其中.
，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
男生 | 女生 | 合计 | |
被录取 | 20 | ||
未被录取 | |||
合计 |
(1)求
；(2)估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充
列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.附：
，其中.
| 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2024-05-30更新
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547次组卷
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2卷引用：山东省菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
8 . 定义：若曲线
或函数
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C：
，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
时，函数
不存在“自公切线”；
(3)证明：当，
时，
.
或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.(1)设曲线C：
，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
时，函数不存在“自公切线”；(3)证明：当
，时，.
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2024-05-30更新
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433次组卷
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2卷引用：山东省菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
9 . 已知
在曲线
上，直线
交曲线于，两点．
(1)求曲线的方程；
(2)若过
且斜率
的直线与曲线交于，两点，求
的最小值．
在曲线上，直线交曲线于，两点．(1)求曲线
的方程；(2)若过
且斜率的直线与曲线交于，两点，求的最小值．
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名校
解题方法
10 . 已知函数
.
(1)当
时，求的极值；
(2)当
时，不等式
恒成立，求的取值范围；
(3)证明：
.
.(1)当
时，求的极值；(2)当
时，不等式恒成立，求的取值范围；(3)证明：
.
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