1 . 某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．

（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为X_n．
①求随机变量X₁的概率分布及数学期望E（X₁）；
②求随机变量X_n的数学期望E（X_n）关于n的表达式．

2 . 数列满足且.
（1）证明：；
（2）证明：.

3 . 已知函数的最小值为2.
（1）求a的值以及f（x）的单调区间；
（2）设，n∈N^*，证明：.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

5 . 已知函数
（1）若函数区间上存在极值点，求实数的取值范围；
（2）当时，不等式，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：（，为自然对数的底数，……）．

6 . 设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：①对任意，存在使得；②对任意，存在，使得，其中表示除外的个集合的并集.
（1）若，判断以下两个数列是否满足条件：①；②？（结论不需要证明）
（2）求的最小值；
（3）判断是否存在最大值，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.

7 . 已知数列的通项公式，.设，，...，（其中，）成等差数列.
（1）若.
①当，，为连续正整数时，求的值；
②当时，求证：为定值；
（2）求的最大值.

8 . 设 （，）．
（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k的值；
（2）设（），且各项系数，，，…，互不相同．现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n列n个数．设是第i列中的最小数，其中，且i，．记的概率为．求证：．

9 . 已知函数.
（1）若且，求的单调区间；
（2）若在处取得最大值，求实数的取值范围.

10 . 已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程．
（2）若对任意的恒成立，求的值．
（3）在（2）的条件下，记，证明：存在唯一的极大值点，且．