解题方法
1 . 定义：如果函数
在定义域内，存在极大值
和极小值
，且存在一个常数
，使
成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数
．
(1)当
时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在
使的极值差比系数为
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若
，求的极值差比系数的取值范围．
在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．(1)当
时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；(2)是否存在
使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)若
，求的极值差比系数的取值范围．
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2 . 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
(1)试根据
的
独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？
精确到0.001
；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为
，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
，其中
.
年龄 | 周平均锻炼时长 | 合计 | |
周平均锻炼时间少于4小时 | 周平均锻炼时间不少于4小时 | ||
50岁以下 | 40 | 60 | 100 |
50岁以上（含50） | 25 | 75 | 100 |
合计 | 65 | 135 | 200 |
的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为
，求的分布列和数学期望. | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中.
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解题方法
3 . 已知函数
.
(1)函数与
的图像关于
对称，求的解析式；
(2)
在定义域内恒成立，求a的值；
(3)求证：
，
.
.(1)函数
与的图像关于对称，求的解析式；(2)
在定义域内恒成立，求a的值；(3)求证：
，.
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昨日更新
|
501次组卷
|
3卷引用：广东省部分学校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试题
4 . 已知递增等差数列
满足：
，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列的前2n项和
.
满足：，.(1)求数列
的通项公式；(2)若数列
满足，求数列的前2n项和.
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5 . 已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若函数存在正零点
，
（i）求的取值范围；
（ii）记
为的极值点，证明：
.
.(1)当
时，求的单调区间；(2)若函数
存在正零点，（i）求
的取值范围；（ii）记
为的极值点，证明：.
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解题方法
6 . 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到
个图形.记第个图形中实心三角形的个数为
，第n个图形中实心区域的面积为
.
和
的通项公式；
(2)设
，证明
.
个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n个图形中实心区域的面积为.
和的通项公式；(2)设
，证明.
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解题方法
7 . 设
，数对
按如下方式生成：
，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若
，则
，否则
；当硬币的反面朝上时，若
，则，否则
．抛掷n次硬币后，记
的概率为
．
(1)写出
的所有可能情况，并求
；
(2)证明：
是等比数列，并求；
(3)设抛掷n次硬币后的期望为
，求．
，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．(1)写出
的所有可能情况，并求；(2)证明：
是等比数列，并求；(3)设抛掷n次硬币后
的期望为，求．
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昨日更新
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173次组卷
|
2卷引用：云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
名校
8 . 已知函数
，
．
(1)求
在
上的最大值；
(2)求过点
且与曲线
相切的直线方程；
(3)证明：
，
．
，．(1)求
在上的最大值；(2)求过点
且与曲线相切的直线方程；(3)证明：
，．
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9 . 已知双曲线
的离心率为
，
，
分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，
是双曲线在第一象限内的点，
的最小值是
．
(1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积；
(2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足
．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．
的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是．(1)过点
分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积；(2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足
．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．
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解题方法
10 . 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：
附表：
．
(1)根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
(2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求
的值．
近视情况 | 每天看电子产品的时间 | 合计 | |
超过一小时 | 一小时内 | ||
近视 | 10人 | 5人 | 15人 |
不近视 | 10人 | 25人 | 35人 |
合计 | 20人 | 30人 | 50人 |
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
．(1)根据小概率值
的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；(2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求
的值．
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