1 . 在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为.
(1)若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求；
(2)若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围；
(3)若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．

2 . 目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看．
(1)已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率；
(2)若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为．
（i）比较与的大小，其中；
（ii）记，求.

3 . 已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且.

(1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面；
(2)如图2，若，求三棱锥的体积；
(3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值.

4 . 对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.

5 . 设为抛物线上的动点．
(1)若点的纵坐标为，求点与抛物线的焦点之间的距离；
(2)过点分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于两点，求的值．

6 . 已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
(1)已知，判断它是否为“函数”；
(2)若函数是“函数”，当，，求在上的解.
(3)证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、.

7 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，.
(1)若，，求与夹角的余弦值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若点，且满足，求的最小值.

8 . 小明同学每星期一、二、四、五这4天，其中星期一、星期二天不交数学作业的概率均为，星期四、星期五不交数学作业的概率均为，假设他在这4天不交作业是独立的，X表示他不交作业的次数.
(1)若，小明作业成绩就不及格，求小明作业成绩及格的概率；
(2)求X的分布列并求，若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5分，Y表示小明这周的作业成绩，求.

9 . 已知，设.
(1)若，求函数的单调减区间；
(2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值.

10 . 对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”.
(1)证明:数列是“弱等差数列”;
(2)设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列.