1 . 已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.

3 . 设．
（1）当时，求证：；
（2）证明：对一切正整数n，都有．

4 . 已知数列的前项和为，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)，求证：.

5 . 如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的正弦值.

6 . 已知抛物线：与双曲线：相交于点．
(1)若，求抛物线的准线方程；
(2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．

7 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，其中O为坐标原点，求证：的面积S是定值．

8 . 已知函数．
(1)若直线与函数和均相切，试讨论直线的条数；
(2)设，求证：．

9 . 如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，.

(1)证明：平面BOP；
(2)若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值.

10 . 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.

   

(1)证明：直线平面；
(2)设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.