1 . 已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，设，
（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，求证：．

2 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.

3 . 已知函数.
（1）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（2）比较与的大小，并加以证明.

4 . 如图，四棱锥中，四边形是正方形，若分别是线段的中点．

（1）求证：||底面；
（2）若点为线段的中点，平面与平面有怎样的位置关系？并证明．

5 . 如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，平面，．

(1)求证：平面平面；
(2)若，求多面体的体积．

6 . 已知函数.
(1)判断并用定义法证明函数的单调性；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？

7 . 如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．

   

(1)求证：直线、、交于一点；
(2)若，求多面体的体积．

8 . 已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为，．
①求证：为定值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

9 . 在正方体中，E为棱的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.求证：

   

(1)平面；
(2).

10 . 已知，，，其中e是自然对数的底数，．
(1)讨论当a=1时，函数的单调性和极值；
(2)求证：在（1）的条件下；
(3)是否存在正实数a，使的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．