1 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点）．
(1)求椭圆的标准方程并求弦的长；
(2)证明直线过定点．

2 . 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点.

(1)证明：是直角三角形；
(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，
①求的长；
②求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 已知函数．若在上有两个极值点、．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．

4 . 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PC的中点.

(1)证明：平面平面PBC；
(2)求直线PD与平面ADE所成角的大小.

5 . 在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，为正三角形，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若点在棱上，且平面，求三棱锥的体积.

7 . 如图，在正方体中，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.

8 . 如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点.

（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求点C到平面C₁DE的距离．