1 . 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

2 . 如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，.

(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.

3 . 已知椭圆的左顶点为，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设过点的直线与椭圆交于（异于两点）两点，直线，分别与轴交于三点.证明：是线段的中点.

4 . 如图，在四棱锥中，平面是棱的中点.

(1)证明：平面.
(2)若，点在棱上，求平面与平面夹角的余弦值的最小值.

5 . 已知函数．
(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点；
(2)证明：对任意的，；
(3)若恒成立，求a的取值范围．

6 . 已知函数
(1)用定义法证明函数在上单调递减
(2)求时，函数的值域

7 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有2个零点，且，求实数的取值范围，并证明.

8 . 记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)证明：；
(2)若，的面积为2，求的周长．

9 . 已知非零向量和不共线．
(1)如果，，，求证：三点共线；
(2)欲使向量与平行，试确定实数的值．

10 . 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段__的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为__．