1 . 设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；
（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.

2 . 证明：
(1)求证：当实数时，；
(2)已知，，如果，的图象有两个不同的交点，.求证：.
（参考数据：，，，为自然对数的底数）

3 . 已知函数，曲线在原点处的切线为.
(1)证明：曲线与轴正半轴有交点；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
(3)若关于的方程（为正实数）有不等实根，求证：.

4 . 已知函数，为自然对数的底数．
（1）求的单调区间；
（2）证明：，；
（3）当时，求证：．

5 . 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线．
①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；
②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

6 . 已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．

7 . 设实数，整数，．
(1)求证：当且时，；
(2)若数列满足，，求证：．

8 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；
(3)求证：．

9 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)在（2）的条件下，证明：当时，．

10 . 已知函数，为常数，
(1)若函数在原点的切线与函数的图象也相切，求b；
(2)当时，，使成立，求M的最大值；
(3)若函数的图象与x轴有两个不同的交点，且，证明：