1 . 若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.

2 . 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．

3 . 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时；
①证明有唯一极值点；   
②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论．

4 . 已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．
(1)求，的关系式并求的单调减区间；
(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；
(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．

5 . 设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件

6 . 定义函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意恒成立，求k的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由．
（注：…是自然对数的底数）

7 . 已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．

8 . 已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
(1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；
(2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
(3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.

9 . 设，满足．
(1)证明：若，则当时，．
(2)若存在满足，证明．

10 . 已知，，
(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．