1 . 已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为__________.

2 . 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为__________，点N轨迹的长度为__________．

   

3 . 在中，是边上动点，设，把沿翻折为，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是________．
   

4 . 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于半径为的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若，则的面积最大值为____________.

5 . 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，且，则S的最大值为__________．

6 . 在中，所对的边分别为若，则面积最大值为__________

7 . 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知， ，则A＝____________.

8 . 已知的内角所对应的边分别为，且满足， 则的面积取得最大值时，=______．

9 . 已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，点，分别是，的中点，是上的一点，且，若，则___________．

10 . 点M在△ABC内部，满足，则____________．