1 . ，均为正实数，，则的最小值为________.

2 . 某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为______.

   

3 . 已知数列中，，，，则___________.

4 . 在平面四边形中，，，，则的最大值为______.
             

5 . 已知向量，向量满足，则的最小值为______．

6 . 任意实数a，b，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则___.

7 . 等比数列的前项和，则的值为__________.

8 . 若数列满足，且，则数列的前2023项的积为___________.

9 . 无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，且，则__________，为数列的前项和，则__________.

10 . 如图，某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为，货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东，则与间的距离为________.