1 . 小明同学高一的时候跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼．后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”．现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数（函数恒有意义）：和，得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下三个问题，请你解答：
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)当时，经过点作曲线的切线，切点为．求证：不论怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上；
(3)当时，若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的最小值.

2 . 已知函数．
(1)若在区间上单调递增，求a的取值范围；
(2)若，证明：．

3 . 已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若有两个零点，求的取值范围；
(3)求证：.

4 . 已知函数.
(1)时，求证：是曲线的一条切线；
(2)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值.

5 . 设函数，其中为实数．
(1)当时，证明：；
(2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．

6 . 已知函数．
(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．

7 . 已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知，当，试比较与的大小，并给予证明．

8 . 已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．

10 . 已知，函数．
(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；
(2)当时，若，求证：