1 . 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点是线段上一动点，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接．

(1)求抛物线的解析式：
(2)过点作，垂足为，求出的最大值；
(3)试探究在点的运动过程中，是否存在点，使得为直角三角形，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在轴上，且，过点作轴的垂线交抛物线于点，当时，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作直线交轴于点，若，求的值；
(3)如图3，点是线段上的点，且，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，是否存在合适的值，使四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 如图1，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P为直线下方抛物线上一点，，轴，求周长的最大值；
(3)如图2，连接，点P在抛物线上，且满足，求点P的坐标．

4 . 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和点C，抛物线的顶点为P．

(1)求此抛物线的解析式和顶点P的坐标；
(2)若点D，E均在此抛物线上，其横坐标分别为m，（）．且D，E两点的纵坐标的差为8．
①求m的值；
②将点C向上平移2m个单位得到点，将抛物线沿x轴向右平移n个单位得到新抛物线，点D的对应点为点，点E的对应点为点，顶点P的对应点为点，在抛物线平移过程中，求的最小值，并求出新抛物线的顶点的坐标．

5 . 如图，抛物线过点，点是抛物线上一个动点，过点作矩形，使边在轴上（点在点的左侧），点在抛物线上，设点的横坐标是，当时，．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)当为何值时，四边形是正方形？
(3)保持时的矩形不动，将抛物线向右平移，平移后的抛物线与矩形边的交点分别是，直线平分矩形的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)在（2）的条件下：当的面积取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M，B，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，抛物线与轴交于两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接是抛物线上的一动点．

(1)求抛物线对应的函数表达式以及两点的坐标．
(2)若点位于第四象限，过点作，求的最大值．
(3)点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标．

8 . 二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：

x	…						0	…
y	…	4	0			0	4	…

下列说法正确的是（       ）

A．抛物线的开口向下	B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，	D．二次函数的最小值是

9 . 已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：

x	…		0	2	3	…
y	…	3	0	m	3	…

以下结论正确的是（       ）

A．抛物线的开口向下	B．这个函数的对称轴是
C．当时，随增大而增大	D．当时，的取值范围是

10 . 2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．

(1)时，求这条抛物线的解析式．
(2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．