1 . 如图，点，，，在同一条直线上，，，．

(1)求证：；
(2)求证：．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴负半轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边三角形．当点运动到原点处时，记点的位置为．

(1)当点在轴负半轴上运动时，
求证：为定值．
连接，求的最小值．
(2)当时，求点的坐标．

3 . 如图，在中，，，将绕点A按顺时针旋转得到，连接，它们交于D点，求证：．

4 . 如图1，和都是等边三角形．

(1)求证：；
(2)若 三点不在一条直线上，，求 的长；
(3)若 三点在一条直线上（如图2），且 和 的边长分别为1和2，求 的面积．

5 . 如图，中，，点B在x轴的正半轴，坐标为．平分，点M在的延长线上，点N为边上的点，则的最小值是________

6 . 【感知】如图①点均在上，，则的大小为______度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
四边形是的内接四边形，，
，
是等边三角形，，
．请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连接，若，求的值．

7 . 如图，在中，，分别是，的中点．

(1)求证：；
(2)连接，当线段与满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．

8 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到E点，使，连接．根据       可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是       ．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”一把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，求证：．
【问题拓展】（3）如图3，中，，，是的中线，，，且．直接写出的长       ．

9 . 如图，在中，，，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的长是____．

10 . 如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接．

(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．