1 . 如图，为等边三角形，点为的中点，过点作于点，以为边作等边，连接．
   
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．

2 . 如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ___________．
   

4 . 综合与实践

   

(1)问题发现：如图1，和均为等腰三角形，，，，点、、在同一条直线上，连接．
①求证：；将下列解答过程补充完整．
证明：，
________，
，
在和中，
，
，
；
②若，则的度数为________．
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出四边形的面积．

5 . 如图，将正方形绕着点D顺时针旋转得到正方形，连接，交于点H．下列结论错误的是（　　）
   

A．

B．

C．

D．

6 . （1）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点在边的延长线上，连接，求证：．
（2）类比探究：如图②，和均为等腰直角三角形，，点在边的延长线上，连接．
①求的度数；
②判断线段，，之间的数量关系并证明．
   

7 . 如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的度数．

8 . 【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，，点E为的中点，点P为矩形内以为直径的半圆上一点，则的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在中，为边上的高，且，P为内一点，当时，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园，，与相交于点P，且，过点A作直线的垂线交直线于点E，即，米．赵老师准备在内种植当季蔬菜，边BE的中点F为菜园出入口，为了种植方便，她打算在边上取点M，并沿、修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
   

9 . 小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E．交于点G．过点E，G分别作，的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．

   

(1)【探究发现】如图1，
与的大小和位置关系：_________．
(2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图3，若，则
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为__________；
②在旋转过程中，的最大值是       

10 . 如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以为邻边构造，连接．则的度数的变化情况是（   ）

A．一直减小

B．一直减小后增大

C．一直增大

D．先增大后减小