1 . 如图，已知和是等边三角形，点，点，点在同一条直线上，连接，交于点．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，求证：平分．

2 . 如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为________．
   

3 . 如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（     ）

A．2

B．3

C．4

D．5

5 . 如图所对圆心角，半径为4，C是的中点，D是上一点，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______．

6 . 如图，已知在和中，，，．求证：．

7 . 问题情境：数学课上，老师利用两个特殊的四边形进行图形变换操作探究，如图1，正方形和正方形，连接，．

(1)发现：当正方形绕点A旋转，如图2，①线段与之间的数量关系是______；
②直线与直线之间的位置关系是______．
(2)探究：若四边形与四边形都为矩形，矩形绕点A旋转，如图3，且，．请写出直线和直线的位置关系，并说明理由．
(3)应用：在（2）的条件下，连接（点E在上方），矩形绕点A㫌转至，且，，则线段长是多少？（直接写出结论）

8 . 已知的半径为1，点A、P、B、C在上，．

(1)如图①，判断的形状为         ；
(2)如图②，当为的直径时，求图中阴影部分的面积；
(3)如图③，当点P为上任意一点时，探究线段、、三者之间的关系，并证明．

9 . 下面是多媒体上的一道试题：
如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，求证：四边形是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路．
小星：先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红：先证明与全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
   
(1)请你选择一位同学的思路，并进行证明；
(2)若，，求的长．

10 . 如图，在中，，在平面内任取一点，连接（），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)请根据题意补全图；
(2)猜测和的数量关系并证明；
(3)当点位于射线上时，作射线交于点，把绕点旋转，，时，直接写出的长．