1 . 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形．

2 . 如图，在中，，是高，若，则的长的最小值为___________．

3 . 如图，已知中，．

   

(1)尺规作图：作的平分线交于点；（不写做法，保留作图痕迹）
(2)点在边上，连接，若，求证：．

4 . 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点E、O、F，连接和．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求菱形的周长．

6 . 如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是________．

7 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．

8 . 如图，矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边，分别相交于点，，（点不与点，重合）．

(1)当旋转角______时，四边形是菱形；
(2)当四边形是菱形，连接，若，，求的面积．

9 . 【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形．