1 . 综合与实践
“手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用．
某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究：
如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，．
深入探究：
（1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，．
解决问题：
（2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______．
拓展应用：
（3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点）

4 . 如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接．点和点分别是边，的中点．

(1)【问题发现】如图1，若，当点E是边的中点时，____，直线与相交所成的锐角的度数为______度．
(2)【解决问题】如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．

6 . 综合与实践
综合与实践上，老师组织同学们以“正方形的旋转”为主题开展数学活动，“智慧小组”选行了下面的探究：已知正方形与正方形，正方形保持不变，正方形绕点旋转一周．

(1)操作发现：
当点在正方形的边上时，如图①所示，连接、，若，，则的值为__________；
(2)探究证明：
当正方形旋转至图②的位置时，连接、，试写出与的数量关系，并加以证明；
(3)拓展延伸：
连接、，分别取、的中点、，连接，，当正方形绕点旋转一周时，请直接写出线段所扫过的面积．

8 . 综合与实践
动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰的直角顶点与正方形的顶点重合（），按如图（1）所示重叠在一起，使点在边上，连接．

则可证：______，______三点共线；
发现问题：（1）如图（2），已知正方形，为边上一动点，，交的延长线于，连结交于点．
若，则______，______；
尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若，求证：；
拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当______时，为的6倍（直接写结果，不要求证明）．

9 . 综合与实践
动手操作
利用旋转开展教学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形的边绕点顺时针旋转90°得到线段，，，连接，过点作交延长线于点．

思考探索
（1）在图1中：
①求证：；
②的面积为______；
③______．
拓展延伸
（2）如图2，若为任意直角三角形，．、、分别用、、表示．请用、、表示：
①的面积：______；
②的长：______；
（3）如图3，在中，，，，，，连接．
①的面积为______；
②点是边的高上的一点，当______时，有最小值______．

10 . 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接．
（1）特例发现：如图1，当，落在直线上时，
①求证：；
②填空：的值为______；
（2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长．