1 . 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．

2 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．

3 . 如图，在四棱锥中，底面是矩形. 为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

4 . 如图，扇形AOB的半径为2，圆心角∠AOB＝120°．PO⊥平面AOB，PO=，点C为弧AB上一点，点M在线段PB上，BM＝2MP，且PA平面MOC，AB与OC相交于点N．

(1)求证：平面MOC⊥平面POB；
(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值．

5 . 已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线过点且与双曲线交于A、两点，若A、中点的横坐标为1，求直线的方程.

6 . 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)抛物线的准线过双曲线的左顶点，斜率为1的直线过双曲线的右顶点且交抛物线于两点，求.

7 . 椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切，若，证明：M，N，F三点共线.

8 . 已知双曲线方程为1，F₁，F₂为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·0，|PF₁||PF₂|＝6．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点F₂作直线交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．

9 . 设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

10 . 如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E、M、N分别是BC、BB₁、A₁D的中点．

(1)证明：MN∥平面C₁DE；
(2)求直线AM与平面C₁DE所成角的正弦值．