解题方法
1 . 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形
在平面
内的平行投影是四边形
.
(1)若平行四边形平行于投影面（如图
），求证：四边形是平行四边形；
(2)在图
中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图
，已知四边形和平行四边形的面积分别为
，平面与平面的交线是直线
，且这个平行投影是正投影.设二面角
的平面角为
（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.
在平面内的平行投影是四边形.图
图
图
(1)若平行四边形
平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；(2)在图
中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；(3)如图
，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.
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21-22高一下·北京·期末
解题方法
2 . 如图， 在三棱锥 
中，已知 
是正三角形，
平面 
，
，
为
的中点，
在棱
上，且
.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求证：
平面
；
(3)若
为
中点， 是否存在 
在棱上，
，且
平面? 若存在，求
的值并说明理由;若不存在，给出证明.
中，已知 是正三角形， 平面 ，，为的中点，在棱上，且.(1)求三棱锥
的体积;(2)求证：
平面；(3)若
为中点， 是否存在 在棱上，，且平面? 若存在，求的值并说明理由;若不存在，给出证明.
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名校
解题方法
3 . 已知三棱锥
中，侧棱和底面边长均为6，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且
.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设直线EH与FG相交于一点P，证明：点P一定在直线BD上；
(3)求三棱锥的体积.
中，侧棱和底面边长均为6，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且.(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设直线EH与FG相交于一点P，证明：点P一定在直线BD上；
(3)求三棱锥
的体积.
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4 . 对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a1，a2，a3，a4}，其中，a1＜a2＜a3＜a4不可能是“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a1，a2，a3，a4}，其中，a1＜a2＜a3＜a4不可能是“平衡集”．
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2021-10-24更新
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280次组卷
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2卷引用：北京市顺义牛栏山第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
名校
5 . 下列命题正确的有：________ .
①
；
②已知
，若
，则
.
③用反证法证明“已知，且
，求证：
.”时，应假设“
且
”；
④命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”.
①
；②已知
，若，则.③用反证法证明“已知
，且，求证：.”时，应假设“且”；④命题“若
，则”的逆否命题是“若，则”.
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解题方法
6 . 如图，四棱锥
的底面是平行四边形，平面
⊥平面，且△是正三角形，点
是
的中点，点，分别在棱
，
上．
（1）求证：
；
（2）若
，
，，共面，求证：
；
（3）在侧面
中能否作一条直线段使其与平面
平行？如果能，请写出作图的过程并给出证明；如果不能，请说明理由．
的底面是平行四边形，平面⊥平面，且△是正三角形，点是的中点，点，分别在棱，上．（1）求证：
；（2）若
，，，共面，求证：；（3）在侧面
中能否作一条直线段使其与平面平行？如果能，请写出作图的过程并给出证明；如果不能，请说明理由．
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名校
7 . 对于定义域为D的函数
，如果存在区间
，同时满足：①
在
内是单调函数，②当
时，的取值范围
，则称是该函数的“k阶和谐区间”.
(1)证明：
是函数
的一个“3阶和谐区间”；
(2)求证：函数
不存在“2阶和谐区间”；
(3)已知函数
存在“1阶和谐区间，当a变化时，求出
的最大值.
，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数，②当时，的取值范围，则称是该函数的“k阶和谐区间”.(1)证明：
是函数的一个“3阶和谐区间”；(2)求证：函数
不存在“2阶和谐区间”；(3)已知函数
存在“1阶和谐区间，当a变化时，求出的最大值.
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名校
8 . 已知函数
．
(1)求
；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(3)求证：函数在
上单调递减．
．(1)求
；(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(3)求证：函数在
上单调递减．
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解题方法
9 . 如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，点E，F分别是PD，BC的中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）在线段PC上确定一点G，使平面EFG∥平面PAB，并给出证明；
（3）求二面角P－AC－D的正弦值，并求出D到平面PAC的距离．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）在线段PC上确定一点G，使平面EFG∥平面PAB，并给出证明；
（3）求二面角P－AC－D的正弦值，并求出D到平面PAC的距离．
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名校
10 . 已知正四棱柱
中，是
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
；
（3）在线段
上是否存在点P，当
时，平面
面？若存在，求出
的值并证明；若不存在，请说明理由．
中，是的中点．（1）求证：
平面；（2）求证：
；（3）在线段
上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．
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2021-07-19更新
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736次组卷
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2卷引用：北京市一零一中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
