1 . 在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.
(1)求，的方程：
(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.

2 . 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点足够长．使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点，             
求证：             

3 . 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）：
甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；
乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40．
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．
(1)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数．
(2)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）

4 . 对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.
(1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；
(2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.

5 . 如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.

(1)若，求证： ；
(2)若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离.

6 . 约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.
设正整数有个正约数，即为.
(1)当时，是否存在构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)当时，若是的所有正约数的一个排列，那么，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．

7 . 已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”．
(1)若，求；
(2)若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当时，；
(3)若，证明：对于任意的，均存在，使得．

8 . 若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．
(1)若，（），证明：为递减数列；
(2)若，且，的前项和记为．
①求；
②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．

9 . 如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形．

(1)求，，；（直接写出结果）
(2)求数列的通项公式；
(3)设，证明：．

10 . 2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在AP技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千做年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，E为母线的中点，已知为一条母线，且．

   

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．