1 . 近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费，盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率，现有玩具店推出四种款式不同、单价相同的盲盒（这四款分别是草莓熊、三丽鸥、蛋仔、卡皮巴拉），每款数量足够多，购买规则及概率规定如下:每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.
(1)现小明欲到玩具店购买盲盒，设他首次买到草莓熊这款盲盒时所需要的购买次数为，证明:;
(2)设首次出现连续次购买到草莓熊这款盲盒时所需的试验次数期望为，
（i）求;
（ii）求.
提示:求的方式:先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
参考公式:

2 . 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；
(3)若平面与平面夹角的余弦值，求．

3 . 定义：对于空间向量，，其“导数积”为.已知空间向量，为常数，记.
(1)当时，证明：；
(2)若为的极大值点，求正实数的取值范围；
(3)设，，，且满足，，证明：.

4 . 函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）．
(1)若关于T可线性分解，求，；
(2)若，关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数的零点；
（ⅱ）对，，求m的取值范围．

5 . 设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值.
(1)若随机变量的分布列为

	1	2	3

其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值.
(2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值.
(3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为.

6 . 甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.
(1)若，
（i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
（ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.
(2)若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？

7 . 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

(1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数:
(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率:
(3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.

8 . 在空间直角坐标系中，己知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
(1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；
(3)若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．

9 . 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；
(3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.

10 . 在圆台中，圆的半径是2，母线，圆是的外接圆，，，则三棱锥体积最大值为______．