2 . 已知椭圆的离心率为，点在上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为.证明：
（i）为定值；
（ii）直线过线段的中点.

4 . 已知，
(1)证明：当时，；
(2)令，
（i）证明：当时，；
（ii）是否存在正实数，使得恒成立，若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由．

6 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”．例如：，．
(1)设，，求证：是的一个周期，且恒成立；
(2)已知数列的通项公式为，设．
①求证：；
②求的值．

7 . 设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（     ）

A．若是等方差数列，则是等差数列

B．数列为等方差数列

C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项

D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得

8 . 已知函数，且．
(1)讨论的单调性；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)当时，证明：．

9 . 已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.