1 . 如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：

            
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线的曲率半径的最小值；
(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．

2 . 双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（       ）

A．外心的轨迹是一条直线

B．当变化时，外心的轨迹方程为

C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上

D．若分别是中点，则的外接圆过定点

3 . 已知直线，圆.
(1)证明：直线l与圆C相交；
(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.

4 . 已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．

5 . 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．

6 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且点和点在椭圆上，椭圆的左顶点与抛物线的焦点的距离为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点.
（ⅰ）若，抛物线在点处的切线交于点，求证：；
（ⅱ）若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知a，b，c分别是△三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（       ）

A．若，则△是等腰三角形

B．若，则△为锐角三角形

C．若O是△所在平面上一定点，动点P满足，，则直线一定经过△的内心

D．若，，分别表示，△的面积，则

8 . 已知椭圆：的左焦点为，为曲线：上的动点，且点不在轴上，直线交于，两点.
(1)证明：曲线为椭圆，并求其离心率；
(2)证明：为线段的中点；
(3)设过点，且与垂直的直线与的另一个交点分别为，，求面积的取值范围.

9 . 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（       ）

A．

B．过点的切线方程

C．对，不等式恒成立

D．若为函数的极值点，则

10 . 已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）.
对于中的任意元素，定义，的距离：

若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”.
(1)若，，，，，，求，及的值；
(2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当时，“好集”不存在.